Matura rozszerzona - maj 2018 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Dane są liczby: $a=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$, $b=\frac{1}{2\sqrt[4]{8}}$, $c=\sqrt[4]{8}$, $d=\frac{2}{\sqrt[4]{8}}$ oraz $k=2^{-\frac{1}{4}}$. Prawdziwa jest równość:

Równanie $\left||x|-2\right|=|x|+2$:

Wartość wyrażenia $2\log_{5}10-\frac{1}{\log_{20}5}$ jest równa:

Granica $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}\frac{-x+2}{x^2-5x+6}$ jest równa:

Punkt $A=(-5,3)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem $f(x)=\frac{ax+7}{x+d}$, gdy $x\neq -d$. Oblicz iloraz $\frac{d}{a}$.

W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Styczna do paraboli o równaniu $y=\sqrt{3}x^2-1$ w punkcie $P=(x_0,y_0)$ jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $30^\circ$. Oblicz współrzędne punktu $P$.

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC|>|BC|$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_C$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_B$ kąta $ABC$.

Udowodnij, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej $k$ i dla każdej liczby całkowitej $m$ liczba $k^3m-km^3$ jest podzielna przez $6$.

Z liczb ośmioelementowego zbioru $Z=\{1,2,3,4,5,6,7,9\}$ tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Objętość stożka ściętego można obliczyć ze wzoru $$V=\frac{1}{3}\pi H(r^2+rR+R^2),$$ gdzie $r$ i $R$ są promieniami podstaw, $r

Rozwiąż równanie $$\sin 6x+\cos 3x=2\sin 3x+1$$ w przedziale $[0,\pi]$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2+(m+1)x-m^2+1=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ i $x_2$, spełniające warunek $$x_1^3+x_2^3>-7x_1x_2.$$

Wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n\geq 1$, spełniają układ równań $$\begin{cases}a_3+a_6=-84,\\a_4+a_7=168.\end{cases}$$ Wyznacz liczbę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, których suma $S_n$ jest równa $32769$.

Punkt $A=(7,-1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ ma równanie $$x^2+y^2=10.$$ Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy $a$ i wysokości trapezu jest równa $2$.