Matura rozszerzona - maj 2015 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $|2x-8|\le 10$.

Stąd wynika, że:

Dana jest funkcja $f$ określona wzorem:

$$f(x)=\begin{cases}x-2 & \text{dla } x\le 0,\\ ||x+3|-4| & \text{dla } x>0.\end{cases}$$

Równanie $f(x)=1$ ma dokładnie:

Liczba $(3-2\sqrt{3})^3$ jest równa:

Równanie $2\sin x+3\cos x=6$ w przedziale $(0,2\pi)$:

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu $y=2x+4$ jest równa:

Oblicz granicę:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\right).$$

W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Liczby $-1$ i $3$ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $f$. Oblicz $\frac{f(6)}{f(12)}$.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność:

$$x^4-x^2-2x+3>0.$$

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P$, $Q$, $R$, $S$.

Wykaż, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $AB=2$, $BC=3$, $CD=4$, $DA=5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

W pierwszej urnie umieszczono $3$ kule białe i $5$ kul czarnych, a w drugiej urnie $7$ kul białych i $2$ kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=x^3-2x^2+1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji $f$, które są równoległe do prostej o równaniu $y=4x$.

Dany jest trójmian kwadratowy:

$$f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4.$$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których trójmian $f$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$, spełniające warunek:

$$x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4.$$

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu $W(x)=x^3+ax^2+bx+c$ jest równa $0$. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej $3$. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie $20$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.