Matura rozszerzona - czerwiec 2015 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_{n+1}=a_n+n-6$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $a_3=-1$. Wyraz $a_2$ jest równy:

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji $y=-x+1$ i $y=\log_2 x$ jest równa:

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?

Dla dowolnego kąta $\alpha$ wartość wyrażenia $\sin\alpha+\sin(180^\circ-\alpha)$ jest równa wartości wyrażenia:

Zbiór $K$ to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, dla których wartość liczbowa wyrażenia $\sqrt{x(x^2-9)}$ jest liczbą rzeczywistą. Zatem:

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $|x|<|x-1025|$. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę setek, cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności otrzymanego wyniku.

Prosta o równaniu $y=\frac{3}{4}x-\frac{61}{14}$ jest styczna do okręgu o środku $S=(1,-4)$. Wyznacz promień tego okręgu.

Niech $a=\log_{12}2$. Wykaż, że $$\log_6 64=\frac{6a}{1-a}.$$

W trójkącie $ABC$ kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ ma miarę $50^\circ$, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ ma miarę $60^\circ$. Okrąg $o_1$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina boki $AB$ i $AC$ trójkąta odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Okrąg $o_2$ przechodzi przez punkt $B$, przecina okrąg $o_1$ w punkcie $D$ oraz w punkcie $F$ leżącym wewnątrz trójkąta $ABC$. Ponadto okrąg $o_2$ przecina bok $BC$ trójkąta w punkcie $G$.

Udowodnij, że na czworokącie $CEFG$ można opisać okrąg.

Rozwiąż równanie $$(4\sin^2x-1)\sin x=\cos^2x-3\sin^2x$$ dla $x\in(-\pi,0)$.

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $15$ i $20$ wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $BC=a$. Z wierzchołka $B$ poprowadzono środkową $BD$ do boku $AC$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $BD$. Przez punkty $A$ i $S$ poprowadzono prostą, która przecięła bok $BC$ w punkcie $P$. Wykaż, że długość odcinka $CP$ jest równa $\frac{2}{3}a$.

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest trapez $ABCD$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $8\sqrt3$, jest prostopadła do ramienia $BC$ i tworzy z dłuższą podstawą $AB$ tego trapezu kąt o mierze $30^\circ$. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość $4\sqrt5$. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej $SD$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=\frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5$$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz całkowite wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa $2$. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.