Matura rozszerzona - grudzień 2014 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Wielomian $W(x)=2x^3-bx^2-1$ jest podzielny przez dwumian $x+1$. Wynika stąd, że

Okrąg o równaniu $(x+2)^2+(y-2)^2=4$ ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu

Funkcja określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=x^5+5x-1$

Każda liczba $x$ należąca do przedziału otwartego $x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$ spełnia nierówność

Funkcja $f$ jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem $f(x)=3^{x-2}+3$. Prosta $l$ ma równanie $y=3{,}3$. Ile punktów wspólnych mają wykres funkcji $f$ i prosta $l$?

Dane są liczby $a$, $b$ takie, że $a-b=4$ i $ab=7$. Oblicz $a^3b+ab^3$. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Długości boków prostokąta są równe $3$ oraz $5$. Oblicz sinus kąta ostrego, który tworzą przekątne tego prostokąta.

Oblicz granicę $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2}{n+2}-\frac{(n+2)^2}{n+444}\right).$$

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{x^2}{x-4}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq4$. Oblicz pochodną funkcji $f$ w punkcie $x=12$.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=x^4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji $f$, która jest równoległa do prostej $y=4x+7$.

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające równanie $$\sin5x-\sin x=0.$$

Niech $P_n$ oznacza pole koła o promieniu $\frac{1}{2^n}$, dla $n\geq1$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(P_n)$.

Wykaż, że jeżeli $a\gt b\geq1$, to $$\frac{a}{2+a^3}\lt\frac{b}{2+b^3}.$$

Wykaż, że jeżeli $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ są kątami wewnętrznymi trójkąta i $$\sin^2\alpha+\sin^2\beta\lt\sin^2\gamma,$$ to $\cos\gamma\lt0$.

Punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ prostokąta $ABCD$, w którym $AB\gt BC$. Punkt $F$ leży na boku $CD$ tego prostokąta oraz $\angle AEF=90^\circ$. Udowodnij, że $\angle BAE=\angle EAF$.

Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.

Dany jest okrąg $o_0$ o równaniu $$(x-3)^2+(y-1)^2=1.$$ W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi $o_1$, $o_2$ styczne zewnętrznie do okręgu $o_0$ i jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów $o_1$ oraz $o_2$.

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po $4$ dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.