Matura rozszerzona - grudzień 2024 - arkusz maturalny

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością $$Q(t)=Q_0\cdot\beta^{-t}\quad\text{dla }t\ge 0$$ gdzie: $Q_0$ - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej $(t=0)$ wyrażony w milikulombach, $Q$ - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili $t$ wyrażony w milikulombach, $\beta$ - stała dodatnia, $t$ - czas wyrażony w sekundach. Wiadomo, że w chwili $t=4$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek $2$ milikulombów, a w chwili $t=6$ s - ładunek $18$ milikulombów. Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili $t=5$ s. Zapisz obliczenia.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ oraz przecina bok $AB$ tego trójkąta w punktach $M$ oraz $N$, przy czym $0<|AM|<|AN|<|AB|$. Wykaż, że jeśli $|AM|=|BN|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy $12\sqrt{3}$. Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe $12\pi(\sqrt{3}+1)$. Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że $$\frac{1}{\log_2 35+1}+\frac{1}{\log_7 140-\log_7 2}+\frac{1}{\log_5 7+\log_5 2+1}=1$$

W pewnej lokalnej społeczności $35\%$ osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada $70\%$ osób mających wyższe wykształcenie i $40\%$ osób bez wyższego wykształcenia. Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$|4x-8|+|x-2|=|2-x|+|x+2|+4$$ Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są: okrąg o równaniu $$(x+1)^2+(y-3)^2=50$$ oraz punkty $A=(6,4)$ i $B=(-6,8)$. Punkt $C$ leży na tym okręgu i $|AC|=|BC|$.

Oblicz współrzędne punktu $C$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę $$\lim_{n\to+\infty}\frac{1+3+5+7+\ldots+(2n+1)}{\binom{n}{2}}$$ gdzie $1+3+5+7+\ldots+(2n+1)$ jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie $$\sin^4 x=\sin x\cdot\cos x-\cos^4 x$$ w zbiorze $[-\pi,2\pi]$. Zapisz obliczenia.

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, spełniają warunek $$a_3+a_5=10$$ Trzywyrazowy ciąg $$(2a_1+4,\ a_4-1,\ -\frac{1}{8}a_7)$$ jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

Funkcja kwadratowa $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określona wzorem $$f(x)=x^2-3x-m^2+m+3$$ Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dwa różne miejsca zerowe $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $$|x_1^2-x_2^2|\le 12$$ Zapisz obliczenia.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ miara kąta $BAC$ jest dwa razy większa od miary kąta $ABC$. Punkt $D$ jest środkiem boku $AB$. Niech $\alpha$ oznacza miarę kąta $ABC$, natomiast $\beta$ - miarę kąta $ADC$.

Oblicz $$\frac{\operatorname{tg}\beta}{\sin(2\alpha)}$$ Zapisz obliczenia.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $$f(x)=\frac{12x-84}{x-8}$$ dla każdego $x\in(-\infty,8)$. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie czworokąty $OBCD$, w których:

• wierzchołek $O$ ma współrzędne $(0,0)$,
• wierzchołki $B$ oraz $D$ są punktami przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią - odpowiednio - $Ox$ i $Oy$,
• wierzchołek $C$ ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji $f$.