Matura podstawowa - maj 2019 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Liczba $\log_{\sqrt{2}}2$ jest równa

Liczba naturalna $n=2^{14}\cdot5^{15}$ w zapisie dziesiętnym ma

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa $4\%$. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o $1$ punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o

Równość $$\frac14+\frac15+\frac1a=1$$ jest prawdziwa dla

Para liczb $x=2$ i $y=2$ jest rozwiązaniem układu równań $$\begin{cases}ax+y=4,\\-2x+3y=2a\end{cases}$$ dla

Równanie $$\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}=0$$

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=3(x+1)-6\sqrt{3}$ jest liczba

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,-4)$. Liczby $0$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,-4)$. Liczby $0$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle1,4\rangle$ jest równa

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(2,-4)$. Liczby $0$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\geq1$, dane są dwa wyrazy: $a_1=7$ i $a_8=-49$. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n\geq1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek $$\frac{a_5}{a_3}=\frac19.$$ Iloraz tego ciągu jest równy

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac45$. Wtedy

Punkty $D$ i $E$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym $ABC$ (zobacz rysunek). Odcinek $CD$ jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany $DEB$ ma miarę $\alpha$.

Zatem

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $5$ oraz okrąg o środku w punkcie $P$ i promieniu $3$. Odcinek $OP$ ma długość $16$. Prosta $AB$ jest styczna do tych okręgów w punktach $A$ i $B$. Ponadto prosta $AB$ przecina odcinek $OP$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek).

Wtedy

Dany jest romb o boku długości $4$ i kącie rozwartym $150^\circ$. Pole tego rombu jest równe

Proste o równaniach $y=(2m+2)x-2019$ oraz $y=(3m-3)x+2019$ są równoległe, gdy

Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest prostopadła do prostej o równaniu $y=-4x+1$ i przechodzi przez punkt $P=\left(\frac12,0\right)$, gdy

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej $f$. Na wykresie tej funkcji leżą punkty $A=(0,4)$ i $B=(2,2)$.

Obrazem prostej $AB$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji $g$ określonej wzorem

Dane są punkty o współrzędnych $A=(-2,5)$ oraz $B=(4,-1)$. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku $AB$ jest równa

Promień $AS$ podstawy walca jest równy połowie wysokości $OS$ tego walca. Sinus kąta $OAS$ (zobacz rysunek) jest równy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

Miara kąta $SAC$ jest równa

Mediana zestawu sześciu danych liczb: $4$, $8$, $21$, $a$, $16$, $25$, jest równa $14$. Zatem

Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry $0$, $2$, $5$, jest

W pudełku jest $40$ kul. Wśród nich jest $35$ kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe

Rozwiąż równanie $$x^3-5x^2-9x+45=0.$$

Rozwiąż nierówność $$3x^2-16x+16>0.$$

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $$3a^2-2ab+3b^2\ge0.$$

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$. Na przedłużeniu cięciwy $AB$ poza punkt $B$ odłożono odcinek $BC$ równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty $C$ i $S$ poprowadzono prostą. Prosta $CS$ przecina dany okrąg w punktach $D$ i $E$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta $ACS$ jest równa $\alpha$, to miara kąta $ASD$ jest równa $3\alpha$.

Ze zbioru liczb $\{1,2,3,4,5\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $8$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $4$ i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej $BD$ tego trapezu.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Różnicą tego ciągu jest liczba $r=-4$, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$, $a_6$, jest równa $16$.

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę $k$, dla której $a_k=-78$.

Dany jest punkt $A=(-18,10)$. Prosta o równaniu $y=3x$ jest symetralną odcinka $AB$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $6$. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta $\alpha$.