Matura podstawowa - maj 2018 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Liczba $2\log_3 6-\log_3 4$ jest równa:

Liczba $\sqrt[3]{\frac{7}{3}}\cdot\sqrt[3]{\frac{81}{56}}$ jest równa:

Dane są liczby $a=3{,}6\cdot10^{-12}$ oraz $b=2{,}4\cdot10^{-20}$. Wtedy iloraz $\frac{a}{b}$ jest równy:

Cena roweru po obniżce o $15\%$ była równa $850$ zł. Przed tą obniżką rower ten kosztował:

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\frac{1-2x}{2}>\frac{1}{3}$ jest przedział:

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f(x)=-2(x+3)(x-5)$. Liczby $x_1$, $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $f$. Zatem:

Równanie $\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0$:

Funkcja liniowa $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{1}{3}x-1$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=x^2-6x-3$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych:

Liczba $1$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=ax+b$, a punkt $M=(3,-2)$ należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik $a$ we wzorze tej funkcji jest równy:

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=\frac{5-2n}{6}$ dla $n\geq1$. Ciąg ten jest:

Dla ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\geq1$, jest spełniony warunek $a_4+a_5+a_6=12$. Wtedy:

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n\geq1$, w którym $a_1=\sqrt{2}$, $a_2=2\sqrt{2}$, $a_3=4\sqrt{2}$. Wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu ma postać:

Przyprostokątna $LM$ trójkąta prostokątnego $KLM$ ma długość $3$, a przeciwprostokątna $KL$ ma długość $8$ (zobacz rysunek).

Wówczas miara $\alpha$ kąta ostrego $LMK$ tego trójkąta spełnia warunek:

Dany jest trójkąt o bokach długości $2\sqrt{5}$, $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{5}$. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:

Dany jest okrąg o środku $S$. Punkty $K$, $L$ i $M$ leżą na tym okręgu. Na łuku $KL$ tego okręgu są oparte kąty $KSL$ i $KML$ (zobacz rysunek), których miary $\alpha$ i $\beta$ spełniają warunek $\alpha+\beta=111^\circ$. Wynika stąd, że:

Dany jest trapez prostokątny $KLMN$, którego podstawy mają długości $KL=a$, $MN=b$, $a>b$. Kąt $KLM$ ma miarę $60^\circ$. Długość ramienia $LM$ tego trapezu jest równa:

Średnicą okręgu jest odcinek $KL$, gdzie $K=(6,8)$, $L=(-6,-8)$. Równanie tego okręgu ma postać:

Proste o równaniach $y=(m+2)x+3$ oraz $y=(2m-1)x-3$ są równoległe, gdy:

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $KLMN$ o boku długości $4$. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź $NS$, a jej długość też jest równa $4$ (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$, jaki tworzą krawędzie $KS$ i $MS$, spełnia warunek:

Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości $3$ i $4$. Kąt $\alpha$, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy $45^\circ$ (zobacz rysunek).

Wysokość graniastosłupa jest równa:

Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa $r$ i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca.

Objętość tej bryły jest równa:

W zestawie liczb jest $2m$ liczb $(m\geq1)$, w tym $m$ liczb $2$ i $m$ liczb $4$. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe:

Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych niż $2018$ i podzielnych przez $5$?

W pudełku jest $50$ kuponów, wśród których jest $15$ kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe:

Rozwiąż nierówność $2x^2-3x>5$.

Rozwiąż równanie $x^3-7x^2-4x+28=0$.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$ prawdziwa jest nierówność

$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq\frac{2}{a+b}.$$

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy $2$.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest mniejszy od $\sqrt{2}-1$.

Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wzorem $f(x)=a^x$, gdzie $a>0$ i $a\neq1$, należy punkt $P=(2,9)$. Oblicz $a$ i zapisz zbiór wartości funkcji $g$, określonej wzorem $g(x)=f(x)-2$.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\geq1$, jest równy $30$, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa $162$. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

W układzie współrzędnych punkty $A=(4,3)$ i $B=(10,5)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y=2x+3$. Oblicz współrzędne punktu $C$, dla którego kąt $ABC$ jest prosty.

Dane są dwa zbiory: $A=\{100,200,300,400,500,600,700\}$ i $B=\{10,11,12,13,14,15,16\}$. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez $3$. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe $45\sqrt{3}$. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.