Matura podstawowa - maj 2015 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Cena pewnego towaru wraz z 7-procentowym podatkiem VAT jest równa $34\,347\text{ zł}$. Cena tego samego towaru wraz z 23-procentowym podatkiem VAT będzie równa:

Najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią spełniającą nierówność $|x+4{,}5|\ge 6$ jest:

Liczba $2^{\frac{4}{3}}\cdot \sqrt[3]{2^5}$ jest równa:

Liczba $2\log_5 10-\log_5 4$ jest równa:

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność $\frac{3}{5}-\frac{2x}{3}\ge \frac{x}{6}$ jest przedziałem:

Dziedziną funkcji $f$ określonej wzorem $f(x)=\frac{x+4}{x^2-4x}$ może być zbiór:

Rozwiązaniem równania $\frac{2x-4}{3-x}=\frac{4}{3}$ jest liczba:

Miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem $f(x)=-\frac{2}{3}x+4$ jest:

Punkt $M=\left(\frac{1}{2},3\right)$ należy do wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f(x)=(3-2a)x+2$. Wtedy:

Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu $y=ax+b$.

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy:

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ określonym dla $n\ge 1$ dane są $a_1=-4$ i $r=2$. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba $156$?

W rosnącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, spełniony jest warunek $a_4=3a_1$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy:

Drabinę o długości $4$ metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości $1{,}30$ m od tego muru.

Kąt $\alpha$, pod jakim ustawiono drabinę, spełnia warunek:

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{2}{5}$. Wówczas $\cos\alpha$ jest równy:

W trójkącie równoramiennym $ABC$ spełnione są warunki: $|AC|=|BC|$ oraz $\angle CAB=50^\circ$. Odcinek $BD$ jest dwusieczną kąta $ABC$, a odcinek $BE$ jest wysokością opuszczoną z wierzchołka $B$ na bok $AC$.

Miara kąta $EBD$ jest równa:

Przedstawione na rysunku trójkąty są podobne.

Wówczas:

Proste o równaniach $y=2mx-m^2-1$ oraz $y=4m^2x+m^2+1$ są prostopadłe dla:

Dane są punkty $M=(3,-5)$ oraz $N=(-1,7)$. Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie:

Dane są punkty $P=(-2,-2)$ oraz $Q=(3,3)$. Odległość punktu $P$ od punktu $Q$ jest równa:

Punkt $K=(-4,4)$ jest końcem odcinka $KL$, punkt $L$ leży na osi $Ox$, a środek $S$ tego odcinka leży na osi $Oy$. Wynika stąd, że:

Okrąg przedstawiony na rysunku ma środek w punkcie $O=(3,1)$ i przechodzi przez punkty $S=(0,4)$ i $T=(0,-2)$.

Okrąg ten jest opisany przez równanie:

Przekątna ściany sześcianu ma długość $2$. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

Kula o promieniu $5$ cm i stożek o promieniu podstawy $10$ cm mają równe objętości. Wysokość stożka jest równa:

Średnia arytmetyczna zestawu danych $2,4,7,8,9$ jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych $2,4,7,8,9,x$. Wynika stąd, że:

W pewnej klasie stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców jest równy $4:5$. Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe:

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $4x^2-8xy+5y^2\ge 0$.

Rozwiąż nierówność $2x^2-4x\ge x-2$.

Rozwiąż równanie $4x^3+4x^2-x-1=0$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Funkcja $h$ określona jest dla $x\in\langle-3,5\rangle$ wzorem $h(x)=f(x)+q$, gdzie $q$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji $h$ jest liczba $x_0=-1$.

Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy $444$, a ostatni jest równy $653$. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o $11$ większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$. Prosta $KL$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $L$, a środek $O$ tego okręgu leży na odcinku $KM$. Udowodnij, że kąt $KML$ ma miarę $31^\circ$.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $16$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wśród $115$ osób przeprowadzono badania ankietowe związane z zakupami w pewnym kiosku. W tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Uwaga: $27$ osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

Biegacz narciarski Borys wyruszył na trasę biegu o $10$ minut później niż inny zawodnik, Adam. Metę zawodów, po przebyciu $15$-kilometrowej trasy biegu, obaj zawodnicy pokonali równocześnie. Okazało się, że wartość średniej prędkości na całej trasie w przypadku Borysa była o $4{,}5\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$ większa niż w przypadku Adama. Oblicz, w jakim czasie Adam pokonał całą trasę biegu.