Matura podstawowa – maj 2003 – zadanie 1

Lewa strona równania $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{2n}+\ldots=3$ jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie $x^2$. Z warunku zbieżności mamy $x^2\lt 1$. Zatem dziedziną równania jest przedział $(-1,1)$.

Równanie można zapisać w postaci $1+x^2(1+x^2+x^4+\ldots)=3$. Stąd $1+3x^2=3$.

Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: $x_1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$, $x_2=\frac{\sqrt{6}}{3}$ należące do dziedziny.

Odpowiedź: rozwiązaniami równania są liczby $x_1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$, $x_2=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Postępując w analogiczny sposób, rozwiąż równanie: $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^n+\ldots=2$.