Matura podstawowa - maj 2022 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Liczba $(2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^2$ jest równa

Dodatnie liczby $x$ i $y$ spełniają warunek $2x=3y$. Wynika stąd, że wartość wyrażenia $\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}$ jest równa

Liczba $4\log_4 2+2\log_4 8$ jest równa

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o $10\%$ w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa

Liczba $3^{2+\frac{1}{4}}$ jest równa

Rozwiązaniem układu równań $$\begin{cases}11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}$$ jest para liczb: $x=x_0$, $y=y_0$. Wtedy

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $\frac{2}{5}-\frac{x}{3}>\frac{x}{5}$ jest przedział

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania $2x(x^2-9)(x+1)=0$ jest równy

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Iloczyn $f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)$ jest równy

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej na zbiorze $\langle-4,5\rangle$. Funkcję $g$ określono za pomocą funkcji $f$. Wykres funkcji $g$ przedstawiono na rysunku 2.

Wynika stąd, że

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=-\frac{1}{3}(x+3)+5$ jest liczba

Wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=3x^2+bx+c$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(-3,2)$. Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{2n^2-30n}{n}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Wtedy $a_7$ jest równy

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, $a_5=-31$ oraz $a_{10}=-66$. Różnica tego ciągu jest równa

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, są dodatnie i $9a_5=4a_3$. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Liczba $\cos 12^\circ\cdot\sin 78^\circ+\sin 12^\circ\cdot\cos 78^\circ$ jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu o środku $S$. Punkt $D$ jest punktem przecięcia cięciwy $AC$ i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu $B$. Miara kąta $BSC$ jest równa $\alpha$, a miara kąta $ADB$ jest równa $\gamma$.

Wtedy kąt $ABD$ ma miarę

Punkty $A$, $B$, $P$ leżą na okręgu o środku $S$ i promieniu $6$. Czworokąt $ASBP$ jest rombem, w którym kąt ostry $PAS$ ma miarę $60^\circ$.

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa $6\sqrt{3}$. Pole tego trójkąta jest równe

Boki równoległoboku mają długości $6$ i $10$, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę $120^\circ$. Pole tego równoległoboku jest równe

Punkty $A=(-2,6)$ oraz $B=(3,b)$ leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy $b$ jest równe

Dane są cztery proste $k$, $l$, $m$, $n$ o równaniach: $$k:\ y=-x+1$$ $$l:\ y=\frac{2}{3}x+1$$ $$m:\ y=-\frac{3}{2}x+4$$ $$n:\ y=-\frac{2}{3}x-1.$$ Wśród tych prostych prostopadłe są

Punkty $K=(4,-10)$ i $L=(b,2)$ są końcami odcinka $KL$. Pierwsza współrzędna środka odcinka $KL$ jest równa $-12$. Wynika stąd, że

Punkty $A=(-4,4)$ i $B=(4,0)$ są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu $ABCD$. Przekątna tego kwadratu ma długość

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości $7\ \text{cm}$ i $10\ \text{cm}$. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o $2\ \text{cm}$. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$. Punkty $E$, $F$, $G$, $B$ są wierzchołkami ostrosłupa $EFGB$.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa $EFGB$ jest równe

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez $5$ jest

Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: $2x$, $4$, $6$, $8$, $11$, $13$, jest równa $5$. Wynika stąd, że

Rozwiąż nierówność: $$3x^2-2x-9\geq 7.$$

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, $a_1=-1$ i $a_4=8$. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\neq a$, spełniona jest nierówność $$\frac{a^2+b^2}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^2.$$

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=2$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin^2\alpha$.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w takim punkcie $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne.

Oblicz miarę kąta $BAC$.

Ze zbioru dziewięcioelementowego $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru $M$, których iloczyn jest równy $24$. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$.

Wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=ax^2+bx+c$ ma z prostą o równaniu $y=6$ dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty $A=(-5,0)$ i $B=(3,0)$ należą do wykresu funkcji $f$. Oblicz wartości współczynników $a$, $b$ oraz $c$.