Matura podstawowa - czerwiec 2021 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Wartość wyrażenia $\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})$ jest równa:

Liczba $\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}$ jest równa:

Niech $\log_3 18=c$. Wtedy $\log_3 54$ jest równy:

Cenę drukarki obniżono o $20\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o:

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $(x-1)^2-(2-x)^2$ jest równe:

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, spełniających jednocześnie nierówności $0<7-3x$ oraz $7-3x\leq 5x-3$.

Rozwiązaniem równania $x\sqrt{3}+2=2x-8$ jest liczba:

Równanie $\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej w zbiorze $(-1,7)$.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=-3(x+4)(x-2)$ jest parabola o wierzchołku $W=(p,q)$. Współrzędne wierzchołka $W$ spełniają warunki:

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $2$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $(0,3)$. Prosta o równaniu $x=-2$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.

Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba:

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba $2$. Do wykresu funkcji $f$ należy punkt $(0,3)$. Prosta o równaniu $x=-2$ jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.

Wartość funkcji $f$ dla argumentu $-4$ jest równa:

Dane są ciągi $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$, $(d_n)$, określone dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$ wzorami:

$$a_n=20n+3,\qquad b_n=2n^2-3,\qquad c_n=n^2+10n-2,\qquad d_n=\frac{n+187}{n}.$$

Liczba $197$ jest dziesiątym wyrazem ciągu:

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq1$, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek $a_3=a_1\cdot a_2$. Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_n)$. Wtedy:

Kąt o mierze $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=\sqrt{5}$. Wtedy:

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leżą punkty $A$, $B$ oraz $C$. Odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy $AOB$ ma miarę $82^\circ$.

Miara kąta $OBC$ jest równa:

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Punkty $B$ i $C$ są położone na okręgu tak, że $BC$ jest jego średnicą. Cięciwa $AB$ tworzy ze styczną kąt o mierze $40^\circ$.

Miara kąta $ABC$ jest równa:

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$ o bokach $|AC|=24$, $|BC|=10$, $|AB|=26$. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie $P$.

Odległość $x$ punktu $P$ od przeciwprostokątnej $AB$ jest równa:

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą $5$. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości:

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę $120^\circ$, a najdłuższy bok ma długość $12$.

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą:

Prosta przechodząca przez punkty $(-4,-1)$ oraz $(5,5)$ ma równanie:

Proste o równaniach $y=-\frac{1}{m-2}x-1$ i $y=\frac{1}{3}x+1$ są równoległe. Wynika stąd, że:

W prostokącie $ABCD$ dane są wierzchołki $C=(-3,1)$ oraz $D=(2,1)$. Bok $AD$ ma długość $6$. Pole tego prostokąta jest równe:

Obrazem prostej o równaniu $x-2y+3=0$ w symetrii osiowej względem osi $Oy$ jest prosta o równaniu:

Graniastosłup prawidłowy ma $36$ krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa $4$. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe:

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest $2$ razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy:

W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera - spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o $25\%$ więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe:

Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: $2$, $3x$, $3x+2$, $3x+4$ jest równa $\frac{13}{2}$. Wynika stąd, że:

Rozwiąż nierówność:

$$2(x+1)(x-3)<x^2-9.$$

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$, $b$ i $c$ takich, że

$$\frac{a+b}{2}>c\quad\text{oraz}\quad\frac{b+c}{2}>a,$$

prawdziwa jest nierówność

$$\frac{a+c}{2}<b.$$

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n\geq 1$. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $20a_{21}+62$. Oblicz różnicę ciągu $(a_n)$.

Dany jest trapez o podstawach długości $a$ oraz $b$ i wysokości $h$. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o $25\%$, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość $h$ trapezu.

W trójkącie $ABC$ boki $BC$ i $AC$ są równej długości. Prosta $k$ jest prostopadła do podstawy $AB$ tego trójkąta i przecina boki $AB$ oraz $BC$ w punktach - odpowiednio - $D$ i $E$. Pole czworokąta $ADEC$ jest $17$ razy większe od pola trójkąta $BED$. Oblicz:

$$\frac{|CE|}{|EB|}.$$

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru $\{3,4,5,6,7,8\}$, a cyfra jedności należy do zbioru $\{0,1,2,3,4\}$, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez $4$.

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ jest zawarta w prostej o równaniu $y=-2x+16$. Wierzchołki $B$ i $C$ mają współrzędne $B=(3,10)$ i $C=(-2,3)$. Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ i pole trójkąta $ABC$.