Matura podstawowa - czerwiec 2018 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Dla $x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1$ oraz $y=\sqrt{2}-1$ wartość wyrażenia $x^2-2xy+y^2$ jest równa

Dane są liczby: $a=\log_{\frac{1}{2}}8$, $b=\log_4 8$, $c=\log_4\frac{1}{2}$. Liczby te spełniają warunek

Wskaż liczbę spełniającą nierówność $(4-x)(x+3)(x+4)>0$.

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o $10\%$ w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje $1944$ złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

Na rysunku przedstawiony jest przedział $(-10,k]$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa $21$.

Stąd wynika, że

Równanie $x-\frac{1}{2x+1}=0$

Liczbę $\frac{224}{1111}$ można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

Liczba $\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq -2$. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $2$ jest równa

Największą wartością funkcji $y=-(x-2)^2+4$ w przedziale $\langle 3,5\rangle$ jest

Funkcja liniowa $f(x)=(1-m^2)x+m-1$ nie ma miejsc zerowych dla

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem $f(x)=-(x-1)(3-x)$. Wskaż ten rysunek.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$ określonego dla $n\geq 1$ są dodatnie i $3a_2=2a_3$. Stąd wynika, że iloraz $q$ tego ciągu jest równy

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n$ dla każdej liczby całkowitej $n\geq 1$. Różnica $r$ tego ciągu jest równa

Liczba $1-\operatorname{tg}40^\circ$ jest

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $O$ i promieniu $r$. Na tym okręgu wybrano punkt $C$, taki, że $|OB|=|BC|$ (zobacz rysunek).

Pole trójkąta $AOC$ jest równe

Okrąg o środku $S_1=(2,1)$ i promieniu $r$ oraz okrąg o środku $S_2=(5,5)$ i promieniu $4$ są styczne zewnętrznie. Wtedy

Długości boków trapezu równoramiennego są równe $12$, $13$, $2$, $13$.

Wysokość $h$ tego trapezu jest równa

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku $2:3:3:4$. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa $27\pi$. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

Stożek o promieniu podstawy $r$ i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

Wśród $100$ osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku $15$. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry $0$ i $2$, jest równa

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

Rozwiąż nierówność $2x(1-x)+1-x<0$.

Wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=x^2+bx+c$ jest parabola, na której leży punkt $A=(0,-5)$. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu $x=7$. Oblicz wartości współczynników $b$ i $c$.

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez $8$ jest równa $6$.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Na boku $CD$ tego prostokąta wybrano taki punkt $E$, że $|EC|=2|DE|$, a na boku $AB$ wybrano taki punkt $F$, że $|BF|=|DE|$. Niech $P$ oznacza punkt przecięcia prostej $EF$ z prostą $BC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty $AED$ i $FPB$ są przystające.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od $0$ do $4$) i liczbę uzyskanych reszek (również od $0$ do $4$). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości $H=16$. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla liczb naturalnych $n\ge 1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $S_{10}=\frac{15}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Punkty $A=(-1,1)$ i $C=(1,9)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Podstawa $AB$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ tego trójkąta.