Matura podstawowa - czerwiec 2016 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Liczba $\frac{7^6\cdot 6^7}{42^6}$ jest równa:

Cenę pewnego towaru podwyższono o $20\%$, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o $30\%$. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką:

Liczba $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$ jest równa:

Różnica $50001^2-49999^2$ jest równa:

Najmniejsza wartość wyrażenia $(x-y)(x+y)$ dla $x,y\in\{2,3,4\}$ jest równa:

Wartość wyrażenia $\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}$ jest równa:

Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania $(x-8)(x^2-4)(x^2+16)=0$, wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa:

Rozwiązaniem równania $\frac{x-7}{x}=5$, gdzie $x\ne 0$, jest liczba należąca do przedziału:

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy liczba $f(-\sqrt{2})$ jest równa:

Dana jest funkcja kwadratowa $f(x)=-2(x+5)(x-11)$. Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ jest rosnąca.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=6(n-16)$ dla $n\ge 1$. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym $a_1=72$ i $a_4=9$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy:

Dany jest trapez $ABCD$, w którym przekątna $AC$ jest prostopadła do ramienia $BC$, $|AD|=|DC|$ oraz $\angle ABC=50^\circ$ (zobacz rysunek).

Stąd wynika, że:

Punkty $A$, $B$, $C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów $\alpha$ i $\beta$ są odpowiednio równe:

Słoń waży $5$ ton, a waga mrówki jest równa $0{,}5$ grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?

Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość $20$. Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę $150^\circ$. Pole tego trójkąta jest równe:

Prosta określona wzorem $y=ax+1$ jest symetralną odcinka $AB$, gdzie $A=(-3,2)$ i $B=(1,4)$. Wynika stąd, że:

Układ równań $$\begin{cases}y=-ax+2a,\\y=\frac{b}{3}x-2\end{cases}$$ nie ma rozwiązań dla:

Do pewnej liczby $a$ dodano $54$. Otrzymaną sumę podzielono przez $2$. W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby $a$. Zatem:

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta $ASC$ jest równa:

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy:

Średnia arytmetyczna czterech liczb: $x-1$, $3x$, $5x+1$ i $7x$ jest równa $72$. Wynika stąd, że:

Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe $k$ i $l$ o równaniach $y=ax+b$ oraz $y=mx+n$. Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.

Zatem:

Dane są dwie sumy algebraiczne $3x^3-2x$ oraz $-3x^2-2$. Iloczyn tych sum jest równy:

Punkty $D$ i $E$ są środkami przyprostokątnych $AC$ i $BC$ trójkąta prostokątnego $ABC$. Punkty $F$ i $G$ leżą na przeciwprostokątnej $AB$ tak, że odcinki $DF$ i $EG$ są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta $BGE$ jest równe $1$, a pole trójkąta $AFD$ jest równe $4$.

Zatem pole trójkąta $ABC$ jest równe:

Rozwiąż równanie $$\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1},$$ gdzie $x\neq -1$ i $x\neq 0$.

Dane są proste o równaniach $y=x+2$ oraz $y=-3x+b$, które przecinają się w punkcie leżącym na osi $Oy$ układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi $Ox$.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $$x^4+y^4+x^2+y^2\geq 2(x^3+y^3).$$

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ oraz wysokości $AD$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina ramię $AD$ w punkcie $E$ oraz dwusieczną kąta $BCD$ w punkcie $F$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że w czworokącie $CDEF$ sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $AB=15$ i $AC=12$ oraz $\cos\alpha=\frac{4}{5}$, gdzie $\alpha=\angle BAC$. Na bokach $AB$ i $AC$ tego trójkąta obrano punkty odpowiednio $D$ i $E$ takie, że $BD=2AD$ i $AE=2CE$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole:

a) trójkąta $ADE$,

b) czworokąta $BCED$.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, w którym $$a_1+a_2+a_3+a_4=2016$$ oraz $$a_5+a_6+a_7+\ldots+a_{12}=2016.$$ Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu $(a_n)$.

Dany jest stożek o objętości $8\pi$, w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy $3:8$. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o $10\%$ większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o $10\%$ mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o $12$ minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?