Matura podstawowa - maj 2015 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-4\le x-1\le 4$.

Dane są liczby $a=-\frac{1}{27}$, $b=\log_{\frac{1}{4}}64$, $c=\log_{\frac{1}{3}}27$. Iloczyn $abc$ jest równy:

Kwotę $1000$ zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości $4\%$ w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości $19\%$. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa:

Równość $\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}$ zachodzi dla:

Układ równań $$\begin{cases}x-y=3\\2x+0{,}5y=4\end{cases}$$ opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:

Suma wszystkich pierwiastków równania $(x+3)(x+7)(x-11)=0$ jest równa:

Równanie $$\frac{x-1}{x+1}=x-1$$

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest:

Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem $f(x)=(m-1)x+3$ leży punkt $S=(5,-2)$. Zatem:

Funkcja liniowa $f$ określona wzorem $f(x)=2x+b$ ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa $g(x)=-3x+4$. Stąd wynika, że:

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem $f(x)=x^2+x+c$. Jeżeli $f(3)=4$, to:

Ile liczb całkowitych $x$ spełnia nierówność $$\frac{2}{7}<\frac{x}{14}<\frac{4}{3}\ ?$$

W rosnącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, spełniony jest warunek $a_4=3a_1$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy:

Tangens kąta $\alpha$ zaznaczonego na rysunku jest równy:

Jeżeli $0^\circ<\alpha<90^\circ$ oraz $\tan\alpha=2\sin\alpha$, to:

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o $20^\circ$ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa:

Pole rombu o obwodzie $8$ jest równe $1$. Kąt ostry tego rombu ma miarę $\alpha$. Wtedy:

Prosta $l$ o równaniu $y=m^2x+3$ jest równoległa do prostej $k$ o równaniu $y=(4m-4)x-3$. Zatem:

Proste o równaniach $y=2mx-m^2-1$ oraz $y=4m^2x+m^2+1$ są prostopadłe dla:

Dane są punkty $M=(-2,1)$ i $N=(-1,3)$. Punkt $K$ jest środkiem odcinka $MN$. Obrazem punktu $K$ w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt:

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $EFGHIJKL$ wierzchołki $E$, $G$, $L$ połączono odcinkami, tak jak na rysunku.

Wskaż kąt między wysokością $OL$ trójkąta $EGL$ i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości $6$. Objętość tego stożka jest równa:

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą $8$. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $$2,\ 4,\ 7,\ 8,\ 9$$ jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: $$2,\ 4,\ 7,\ 8,\ 9,\ x$$ Wynika stąd, że:

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy:

Rozwiąż nierówność $$2x^2-4x>(x+3)(x-2).$$

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$4x^2-8xy+5y^2\geq 0.$$

Dany jest kwadrat $ABCD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Punkty $K$ i $M$ są środkami odcinków - odpowiednio - $AE$ i $EC$. Punkty $L$ i $N$ leżą na przekątnej $BD$ tak, że $$|BL|=\frac{1}{3}|BE|\quad\text{oraz}\quad |DN|=\frac{1}{3}|DE|.$$

Wykaż, że stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ jest równy $1:3$.

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej $$f(x)=x^2-6x+3$$ w przedziale $[0,4]$.

W układzie współrzędnych są dane punkty $A=(-43,-12)$ i $B=(50,19)$. Prosta $AB$ przecina oś $Ox$ w punkcie $P$. Oblicz pierwszą współrzędną punktu $P$.

Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy $\frac{4}{7}$, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy $1$, to otrzymamy $\frac{1}{2}$. Wyznacz ten ułamek.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $16$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wśród $115$ osób przeprowadzono badania ankietowe związane z zakupami w pewnym kiosku. W tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Uwaga: $27$ osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\geq 1$, suma jedenastu początkowych wyrazów jest równa $187$. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu jest równa $12$. Wyrazy $a_1$, $a_3$, $a_k$ ciągu $(a_n)$, w podanej kolejności, tworzą nowy trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz $k$.