Matura podstawowa - grudzień 2014 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Liczba $0{,}6$ jest jednym z przybliżeń liczby $\frac{5}{8}$. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy:

Dany jest okrąg o środku $S=(-6,-8)$ i promieniu $2014$. Obrazem tego okręgu w symetrii osiowej względem osi $Oy$ jest okrąg o środku w punkcie $S_1$. Odległość między punktami $S$ i $S_1$ jest równa:

Rozwiązaniami równania $(x^3-8)(x-5)(2x+1)=0$ są liczby:

Cena towaru została podwyższona o $30\%$, a po pewnym czasie nową, wyższą cenę ponownie podwyższono, tym razem o $10\%$. W rezultacie obu podwyżek wyjściowa cena towaru zwiększyła się o:

Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ wzorami $f(x)=-5x+1$ oraz $g(x)=5^x$. Liczba punktów wspólnych wykresów tych funkcji jest równa:

Wyrażenie $(3x+1+y)^2$ jest równe:

Połowa sumy $4^{28}+4^{28}+4^{28}+4^{28}$ jest równa:

Równania $y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ oraz $y=-\frac{4}{3}$ opisują dwie proste:

Na płaszczyźnie dane są punkty: $A=(\sqrt{2},\sqrt{6})$, $B=(0,0)$ i $C=(\sqrt{2},0)$. Kąt $BAC$ jest równy:

Funkcja $f$, określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie $x$ ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji $f$ zawiera dokładnie:

Ekipa złożona z $25$ pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu $156$ dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu $100$ dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o:

Z sześcianu $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$ odcięto ostrosłup $ABDE$ (zobacz rysunek).

Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?

W układzie współrzędnych narysowano część paraboli o wierzchołku w punkcie $A=(2,4)$, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$.

Funkcja $f$ może być opisana wzorem:

Punkty $A=(-6-2\sqrt{2},4-2\sqrt{2})$, $B=(2+4\sqrt{2},-6\sqrt{2})$, $C=(2+6\sqrt{2},6-2\sqrt{2})$ są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $ABCD$. Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie:

Liczba $\sin 150^\circ$ jest równa liczbie:

Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości $1$ m, a bok każdego z następnych trójkątów jest o $10$ cm dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości $5{,}9$ m. Ile trójkątów przedstawia mural?

Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości $20$ tworzy z podstawą kąt $67{,}5^\circ$. Pole tego trójkąta jest równe:

Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi $a$ jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi $b$. Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi $a$ jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi $b$?

Na okręgu o środku $S$ leżą punkty $A$, $B$, $C$ i $D$. Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Kąt między tą średnicą a cięciwą $AC$ jest równy $21^\circ$ (zobacz rysunek).

Kąt $\alpha$ między cięciwami $AD$ i $CD$ jest równy:

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $3,\ 8,\ 3,\ 11,\ 3,\ 10,\ 3,\ x$ jest równa $6$. Mediana tego zestawu jest równa:

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym $a_1=-\sqrt{2}$, $a_2=2$, $a_3=-2\sqrt{2}$. Dziesiąty wyraz tego ciągu, czyli $a_{10}$, jest równy:

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{24-4n}{n}$ dla $n\geq 1$. Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:

Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech $p_i$ oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia $i$ oczek w $i$-tym rzucie. Wtedy:

Wskaż liczbę, która spełnia równanie $4^x=9$.

Rozwiąż nierówność: $$-x^2-4x+21<0.$$

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania $$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1.$$

Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze $100\%$ pierwiastka pozostało $50\%$ tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po $x$ okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem $$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x.$$

W przypadku izotopu jodu $^{131}\mathrm{I}$ czas połowicznego rozpadu jest równy $8$ dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z $1$ g $^{131}\mathrm{I}$ nie więcej niż $0{,}125$ g tego pierwiastka.

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez $3$, to jej kwadrat przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$.

Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości $A$ do miejscowości $C$ przez miejscowość $B$, która znajduje się w połowie drogi z $A$ do $C$. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z $A$ do $B$ była równa $40$ km/h, a na trasie z $B$ do $C$ - $60$ km/h. Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z $A$ do $C$.

Zakupiono $16$ biletów do teatru, w tym $10$ biletów na miejsca od $1.$ do $10.$ w pierwszym rzędzie i $6$ biletów na miejsca od $11.$ do $16.$ w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że $2$ wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?

W trapezie $ABCD$, gdzie $AB\parallel CD$, przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$ takim, że $|AO|:|OC|=5:1$. Pole trójkąta $AOD$ jest równe $10$. Uzasadnij, że pole trapezu $ABCD$ jest równe $72$.

Punkty $A=(3,3)$ i $B=(9,1)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, a punkt $M=(1,6)$ jest środkiem boku $AC$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej $AB$ z wysokością tego trójkąta, poprowadzoną z wierzchołka $C$.

Tworząca stożka ma długość $17$, a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o $22$. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka.