Matura podstawowa - czerwiec 2026 - arkusz maturalny

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\frac{9^4}{3^{-20}}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\log_5 \sqrt[3]{25}$ jest równa

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $x^3-2x^2+x$ jest równa wartości wyrażenia

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n\ge 0$ liczba $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$.

Dane są wielomiany $W$, $V$ oraz $H$ określone wzorami:

$$W(x)=x^4$$ $$V(x)=x^3+1$$ $$H(x)=x-2$$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wielomian $W(x)-V(x)\cdot H(x)$ jest określony wzorem

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $$-2(x+3)(x-2)>0$$ jest przedział

Dane jest równanie $$\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x},$$ gdzie $x\neq 0$ i $x\neq 1$.

Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału $\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)$.

Zapisz obliczenia.

W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest $198$. Gdyby w tym parku rosło o $18$ drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam $3$ razy więcej niż drzew iglastych.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

$x$ - liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,

$y$ - liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew iglastych oraz liczby $y$ drzew liściastych, jest

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=3x-4$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=2x^2-kx+6$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $k$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona następująco:

$$f(x)=\begin{cases}\frac{4}{3}x+\frac{14}{3} & \text{dla } x\in[-5,-2)\\\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} & \text{dla } x\in[-2,2]\\-3x+9 & \text{dla } x\in(2,4)\end{cases}$$

Wykres funkcji $y=f(x)$ przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ na rysunku poniżej.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W=(-3,7)$.

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco:

$$\begin{cases}a_1=2\\a_{n+1}=a_n-6\end{cases}\quad \text{dla każdej liczby naturalnej } n\ge 1.$$

Czterowyrazowy ciąg $(7,a_2,a_3,a_4)$ jest arytmetyczny.

Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $54$.

Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pięciowyrazowy ciąg $(a_1,a_2,2,a_4,a_5)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn $a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5$ jest równy

Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie $\alpha$, że $\sin\alpha=\frac{1}{4}$.

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $8$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$.

Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu oraz $|\angle ABD|=18^\circ$.

Punkt $D$ leży na krótszym łuku $CA$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego $BCA$ jest równa

Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie $A$ przecięto dwiema prostymi równoległymi $k$ oraz $l$.

Prosta $k$ przecina ramiona tego kąta w punktach $B$ oraz $C$.

Prosta $l$ przecina ramiona tego kąta w punktach $D$ oraz $E$.

Punkty $B$ oraz $D$ leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty $C$ oraz $E$ leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto $|AB|=6$, $|BC|=4$ oraz $|BD|=2$ (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek $DE$ ma długość

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ leży na boku $AC$.

Odcinek $BE$ jest środkową trójkąta $ABC$, a odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki $DB$ oraz $DE$ mają równe długości (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|\angle CAB|=2\cdot|\angle ABE|$.

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze $\alpha$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $D=(6,19)$.

Bok $AB$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y=\frac{1}{2}x+9$, a bok $AD$ zawiera się w prostej o równaniu $y=4x-5$.

Punkt $K=(10,14)$ jest środkiem odcinka $AB$.

Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$.

Oblicz współrzędne punktu $S$. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $A=(-3,1)$ oraz $B=(1,-3)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu $ABCD$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód kwadratu $ABCD$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ odcinek o końcach $A=(1,1)$ oraz $B=(3,-1)$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $12$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Tworząca stożka o promieniu podstawy $3$ ma długość $6$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Odcinek $AD$ jest wysokością walca, a odcinek $AB$ jest średnicą podstawy walca.

Odcinek $BD$ ma długość $4\sqrt{3}$. Miara kąta $ABD$ jest równa $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest

W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to $9$ lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to $13$ lat.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Dany jest sześcioelementowy zbiór $K=\{2,3,4,5,6,7\}$.

Ze zbioru $K$ losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od $16$. Zapisz obliczenia.

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$.

Rozważamy wszystkie trójkąty $DEF$ spełniające jednocześnie następujące warunki:

• punkt $E$ leży na boku $AB$ kwadratu $ABCD$,
• punkt $F$ leży na boku $BC$ kwadratu $ABCD$,
• $|CF|=\frac{1}{2}\cdot |EB|=x$, gdzie $x\in(0,2)$ (zobacz rysunek).

Niech $P(x)$ oznacza pole trójkąta $DEF$ w zależności od długości $x$ odcinka $CF$.

Wyznacz wzór funkcji $P$ zmiennej $x$, gdzie $x\in(0,2)$. Oblicz długość $x$ odcinka $CF$, dla której pole trójkąta $DEF$ jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.