Matura podstawowa - maj 2024 - arkusz maturalny

Dana jest nierówność $$|x-1| \ge 3$$ Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16}$ jest równa

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Liczba $\log_{\sqrt{3}} 9$ jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ wartość wyrażenia $(2a+b)^2-(2a-b)^2$ jest równa wartości wyrażenia

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $$1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x$$ jest przedział

Równanie $$\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$$ w zbiorze liczb rzeczywistych

Dany jest wielomian $W(x)=3x^3+6x^2+9x$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Rozwiąż równanie $$x^3-2x^2-3x+6=0$$ Zapisz obliczenia.

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie $1960$ drzew. Po roku stwierdzono, że uschło $5\%$ drzew w pierwszym sadzie i $10\%$ drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $60\%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$.

Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$, mają to samo miejsce zerowe.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-1)^n\cdot (n-5)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Trzywyrazowy ciąg $(12,6,2m-1)$ jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

oraz

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $(-165)$.

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\operatorname{tg}\alpha=-3$ oraz $90^\circ<\alpha<180^\circ$ (zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ............. oraz ............. .

Liczba $\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot \sin 20^\circ$ jest równa

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$, $|LM|=b$ oraz $a\ne b$. Dwusieczna kąta $KML$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ takim, że $|KN|=c$, $|NL|=d$ oraz $|MN|=e$ (zobacz rysunek).

W trójkącie $KLM$ prawdziwa jest równość

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120^\circ$.

Pole tego równoległoboku jest równe

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami $$k: y=(m+1)x+7$$ $$l: y=-2x+7$$ Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $A=(-2,6)$ oraz $B=(10,2)$. Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie $P=(6,7)$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$ (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$.

Ostrosłup $F_1$ jest podobny do ostrosłupa $F_2$. Objętość ostrosłupa $F_1$ jest równa $64$. Objętość ostrosłupa $F_2$ jest równa $512$.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_2$ do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F_1$ jest równy ............. .

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr $1$, $3$, $6$, $8$, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a$, $b$, $c$, jest równa $9$.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $a$, $a$, $b$, $b$, $c$, $c$, jest równa

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Dany jest pięcioelementowy zbiór $K=\{5,6,7,8,9\}$. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki.

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.