Matura podstawowa - grudzień 2023 - arkusz maturalny

Liczba $\left(3^{-2{,}4}\cdot 3^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}}$ jest równa

Liczba $\log_2 96-\log_2 3$ jest równa

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości $5\%$ od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę $4851$ zł, bez uwzględnienia podatków.

Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa

Na osi liczbowej zaznaczono przedział.

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $3n^2+4n+1$ jest podzielna przez $4$.

Dany jest układ równań $$\begin{cases}x-3y+5=0\\2x+y+3=0\end{cases}$$

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od $-3$ i $-2$ wartość wyrażenia $$\frac{x+3}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x^2+2x}{2x+6}$$ jest równa wartości wyrażenia

Dany jest wielomian $W(x)=-3x^3-x^2+kx+1$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian $W$ można zapisać w postaci $W(x)=(x+1)\cdot Q(x)$ dla pewnego wielomianu $Q$.

Liczba $k$ jest równa

Rozwiąż równanie $$2x^3+3x^2=10x+15.$$

Zapisz obliczenia.

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $$f(x)=-\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}.$$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze $22^\circ\text{C}$ opisuje funkcja wykładnicza $T(x)=78\cdot 2^{-0{,}05x}+22$, gdzie $T(x)$ to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza po $x$ minutach liczonych od momentu $x=0$, w którym zioła zalano wrzątkiem.

Temperatura naparu po $20$ minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. W tym ciągu $a_2=4$ oraz $a_3=9$.

Szósty wyraz ciągu $(a_n)$ jest równy

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem $S_n=4\cdot(2^n-1)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.

Trzywyrazowy ciąg $(1-2a,12,48)$ jest geometryczny.

Liczba $a$ jest równa

Dane są dwa kąty o miarach $\alpha$ oraz $\beta$, spełniające warunki: $\alpha\in(0^\circ,180^\circ)$ i $\operatorname{tg}\alpha=-\frac{2}{3}$ oraz $\beta\in(0^\circ,180^\circ)$ i $\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ zaznaczono różne kąty - w tym kąt o mierze $\alpha$ oraz kąt o mierze $\beta$. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ albo $F$.

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dana jest prosta $l$ o równaniu $$y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}.$$ Prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$ i przechodzi przez punkt $P=(6,0)$.

Prosta $k$ ma równanie

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach $$k:\ y=-\frac{1}{2}x-7$$ $$l:\ y=(2m-1)x+13.$$

Proste $k$ oraz $l$ są równoległe, gdy

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S=(4,-2)$. Okrąg $\mathcal{O}$ jest styczny do osi $Ox$ układu współrzędnych.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkty $K=(-7,-2)$ oraz $L=(-1,4)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego $KLM$.

Pole trójkąta $KLM$ jest równe

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ kąt o mierze $32^\circ$. Ponadto odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Miara kąta rozwartego $BOC$ jest równa

W rombie $ABCD$ dłuższa przekątna $AC$ ma długość $12$ i tworzy z bokiem $AB$ kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek).

Pole rombu $ABCD$ jest równe

Dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S$. Średnica $AB$ tego okręgu przecina cięciwę $CD$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek). Ponadto: $|PB|=4$, $|PC|=8$ oraz $|PD|=5$.

Oblicz promień okręgu $\mathcal{O}$. Zapisz obliczenia.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $5$. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt $P$ (zobacz rysunek).

Suma odległości punktu $P$ od wszystkich ścian sześcianu $ABCDEFGH$ jest równa

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $384$. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze $\alpha$ taki, że $\operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{3}$ (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $-3$. Zapisz obliczenia.

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa po zaokrągleniu do pełnych dekagramów mieści się w przedziale $[19\text{ dag},21\text{ dag}]$.

Pobrano próbę kontrolną liczącą $50$ jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano - wyrażoną w dekagramach - masę jabłka w zaokrągleniu do pełnych dekagramów, a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość $12$ dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa $18$ dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.