Funkcje wykładnicza i logarytmiczna – zastosowania

Jeśli wartość początkowa wynosi $P_0$, a w każdym okresie rośnie o $r$ procent, to po $n$ okresach jest równa $P_n=P_0(1+r)^n$, gdzie $r$ zapisujemy w postaci dziesiętnej. Przy spadku o $r$ procent używamy współczynnika $1-r$. Model zakłada stały procent zmiany, a nie stałą różnicę.

Gdy znamy wartość końcową, otrzymujemy równanie wykładnicze. Jeśli nie da się sprowadzić obu stron do tej samej podstawy, korzystamy z logarytmu. Z równania $P_0q^n=P$ wynika $q^n=P/P_0$, a następnie $n=\frac{\log(P/P_0)}{\log q}$. W zadaniu praktycznym trzeba jeszcze zdecydować, czy wynik zaokrąglić w górę, czy podać z dokładnością.

W skali decybelowej poziom natężenia dźwięku opisuje wzór $L=10\log\frac{I}{I_0}$. Zwiększenie natężenia dziesięciokrotnie podnosi poziom o $10$ dB, a stukrotnie – o $20$ dB. Skala logarytmiczna zamienia ilorazy wielkości na różnice wskazań.

Przykład 1. Kapitał $5000$ zł rośnie co roku o $4\%$. Po $3$ latach wynosi $5000\cdot1{,}04^3\approx5624{,}32$ zł.

Przykład 2. Urządzenie traci rocznie $15\%$ wartości. Po $4$ latach z ceny $8000$ zł pozostaje $8000\cdot0{,}85^4\approx4176{,}05$ zł.

Przykład 3. Bakterie podwajają liczebność co $5$ godzin. Aby liczba wzrosła z $300$ do co najmniej $4800$, potrzebujemy $300\cdot2^n\geq4800$, czyli $2^n\geq16$. Stąd $n\geq4$, a więc co najmniej $20$ godzin.

Przykład 4. Jeśli natężenie dźwięku wzrasta $1000$ razy, zmiana poziomu wynosi $10\log1000=10\cdot3=30$ dB.

• Dodawanie tego samego procentu wartości początkowej zamiast stosowania procentu składanego.
• Używanie $r$ zamiast $1+r$ lub $1-r$.
• Zaokrąglanie czasu w dół, gdy pytanie dotyczy osiągnięcia co najmniej określonego poziomu.
• Brak jednostek i interpretacji otrzymanego wyniku.

Modele te występują w finansach, biologii, fizyce, analizie danych i codziennych obliczeniach dotyczących wzrostu cen, spadku wartości oraz zmian natężenia zjawisk.