Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Geometrycznie równanie $|x-a|=r$ pyta o liczby odległe od $a$ o $r$. Dla $r>0$ są to $a-r$ i $a+r$.

W równaniu $|A(x)|=B(x)$ musi zachodzić $B(x)\geq 0$. Następnie można rozważyć równania $A(x)=B(x)$ oraz $A(x)=-B(x)$ i sprawdzić uzyskane liczby. Warunek nieujemności prawej strony często pozwala odrzucić część kandydatów.

W wyrażeniu takim jak $|x-2|+|x+3|$ punkty $-3$ i $2$ dzielą oś na przedziały. Na każdym przedziale znamy znaki wyrażeń pod modułami i możemy usunąć kreski zgodnie z definicją. Można też korzystać z interpretacji odległości: suma opisuje łączną odległość punktu $x$ od dwóch ustalonych punktów.

Przykład 1. $|3x-4|=8$ prowadzi do $3x-4=8$ lub $3x-4=-8$. Otrzymujemy $x=4$ albo $x=-\frac{4}{3}$.

Przykład 2. $|2x+1|=-5$ nie ma rozwiązań, ponieważ wartość bezwzględna nie może być ujemna.

Przykład 3. $|x-1|=x+1$. Musi być $x\geq -1$. Dla $x\geq 1$ mamy $x-1=x+1$, co jest sprzeczne. Dla $-1\leq x<1$ mamy $1-x=x+1$, więc $x=0$.

Przykład 4. $|x-2|+|x+2|=6$. Dla $x\geq 2$ dostajemy $2x=6$, więc $x=3$. Dla $-2\leq x<2$ suma wynosi $4$, a dla $x<-2$ otrzymujemy $-2x=6$, więc $x=-3$.

Podnoszenie obu stron do kwadratu jest bezpieczne przy równaniu $|A|=B$ dopiero po założeniu $B\geq 0$. Bez tego można uzyskać rozwiązania równania kwadratowego, które nie spełniają równania początkowego.

• Zapisywanie tylko przypadku $A=c$ i pominięcie $A=-c$.
• Rozwiązywanie równania z ujemną prawą stroną przez bezrefleksyjne potęgowanie.
• Usuwanie modułu bez ustalenia znaku wyrażenia.
• Brak kontroli punktów granicznych przedziałów.

Równania z wartością bezwzględną opisują odległość na osi, tolerancję pomiaru, dopuszczalny błąd oraz warunki symetryczne względem ustalonej wartości.