Własności pierwiastkowania

Dla $a \geq 0$ i $b \geq 0$ (przy dzieleniu $b > 0$):

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Dla pierwiastka trzeciego stopnia zachodzą analogiczne wzory, ale bez zastrzeżeń o znaku:

$$\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$$

Nie ma wzoru na pierwiastek z sumy. Sprawdź: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, ale $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. Zupełnie inne liczby.

Najważniejsze zastosowanie tych wzorów. Rozkładamy liczbę pod pierwiastkiem tak, by wyciągnąć z niej kwadrat:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$

Szukamy największego kwadratu, który dzieli liczbę. Gdyby wyjść od $\sqrt{50} = \sqrt{5 \cdot 10}$, nic by z tego nie wyszło – trzeba trafić na 25.

Operacja odwrotna. Liczbę przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu i wsuwamy pod pierwiastek:

$$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$$

To przydaje się przy porównywaniu – żeby zestawić $3\sqrt{2}$ z $2\sqrt{5}$, wsuwamy oba pod pierwiastek: $\sqrt{18}$ i $\sqrt{20}$. Teraz widać, że drugie jest większe.

Przykład 1. Oblicz $\sqrt{4 \cdot 25}$ dwoma sposobami.

Wprost: $\sqrt{100} = 10$. Ze wzoru: $\sqrt{4} \cdot \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.

Przykład 2. Wyłącz czynnik przed pierwiastek: $\sqrt{75}$.

$75 = 25 \cdot 3$, więc $\sqrt{75} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Przykład 3. Włącz czynnik pod pierwiastek: $4\sqrt{3}$.

$4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.

Przykład 4. Oblicz $\sqrt{\frac{81}{16}}$.

$\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$.

• Stosowanie wzoru do sumy. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Wybieranie zbyt małego kwadratu przy wyłączaniu czynnika. $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$ jest technicznie poprawne, ale nie do końca uproszczone – powinno być $6\sqrt{2}$.
• Zapominanie o podniesieniu do kwadratu przy włączaniu czynnika. $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$, nie $\sqrt{6}$.

Bez wyłączania czynnika wyniki twierdzenia Pitagorasa byłyby nieczytelne. Przekątna kwadratu o boku 5 to $\sqrt{50}$ – ale dopiero zapis $5\sqrt{2}$ pokazuje, że jest ona równa bokowi pomnożonemu przez $\sqrt{2}$.