Szacowanie pierwiastków

Chcemy oszacować $\sqrt{50}$. Szukam kwadratów, między którymi leży 50:

$$49 < 50 < 64$$

$$\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$$

$$7 < \sqrt{50} < 8$$

Odpowiedź: $\sqrt{50}$ leży między 7 a 8. Ponieważ 50 jest znacznie bliżej 49 niż 64, można dodać, że wynik jest bliski 7.

Bez znajomości tych liczb szacowanie nie zadziała:

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$

Ta sama metoda, tylko z sześcianami: $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$.

Przykład: $\sqrt[3]{100}$. Skoro $64 < 100 < 125$, to $4 < \sqrt[3]{100} < 5$.

Gdy potrzeba więcej niż liczby całkowite, sprawdzamy kolejne cyfry po przecinku. Dla $\sqrt{2}$:

• $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2$, a $1{,}5^2 = 2{,}25 > 2$, więc $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$
• $1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2$, a $1{,}42^2 = 2{,}0164 > 2$, więc $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$

W praktyce warto zapamiętać dwa przybliżenia: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ oraz $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.

Znając przybliżenia, można oszacować całe wyrażenia:

$$3 + \sqrt{2} \approx 3 + 1{,}41 = 4{,}41$$

$$2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1{,}73 = 3{,}46$$

Przykład 1. Między którymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{30}$?

$25 < 30 < 36$, więc $5 < \sqrt{30} < 6$.

Przykład 2. Między którymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{150}$?

$144 < 150 < 169$, więc $12 < \sqrt{150} < 13$.

Przykład 3. Ile jest liczb naturalnych $n$ takich, że $3 < \sqrt{n} < 4$?

Podnoszę do kwadratu: $9 < n < 16$. Zatem $n \in \{10, 11, 12, 13, 14, 15\}$ - sześć liczb.

Przykład 4. Oszacuj $\sqrt{5} + 1$, przyjmując $\sqrt{5} \approx 2{,}24$.

$2{,}24 + 1 = 3{,}24$.

• Szukanie sąsiadów liczby pod pierwiastkiem zamiast kwadratów. Dla $\sqrt{50}$ nie chodzi o to, że $49 < 50 < 51$.
• Mylenie kierunku nierówności przy podnoszeniu do kwadratu.
• Przy pierwiastku sześciennym szukanie kwadratów zamiast sześcianów.

Kalkulator nie zawsze jest pod ręką, a i tak trzeba wiedzieć, czy wynik ma sens. Jeśli po obliczeniu przekątnej wyszło $\sqrt{85}$, warto od razu wiedzieć, że to jakieś 9 z hakiem – a nie 40 czy 2.