Pierwiastek trzeciego stopnia

W odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego, pierwiastek trzeciego stopnia istnieje dla każdej liczby – również ujemnej.

Dlaczego tak? Bo sześcian liczby ujemnej jest ujemny: $(-2)^3 = -8$. Natomiast kwadrat nigdy nie jest ujemny.

Skoro $\sqrt[3]{-8} = -2$, a $-\sqrt[3]{8} = -2$, to zachodzi ogólna równość:

$$\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$$

Mówimy, że minus można wyciągnąć przed znak pierwiastka trzeciego stopnia. Przy pierwiastku kwadratowym takiej możliwości nie ma.

Dla dowolnej liczby $a$:

• $\sqrt[3]{a^3} = a$
• $(\sqrt[3]{a})^3 = a$
• $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a$

Zwróć uwagę: tu nie ma zastrzeżenia $a \geq 0$, bo pierwiastek sześcienny działa dla wszystkich liczb.

Przykład 1. Oblicz $\sqrt[3]{27}$, $\sqrt[3]{125}$, $\sqrt[3]{1000}$.

$\sqrt[3]{27} = 3$, bo $3^3 = 27$. Dalej: $\sqrt[3]{125} = 5$, $\sqrt[3]{1000} = 10$.

Przykład 2. Oblicz $\sqrt[3]{-64}$.

Szukam liczby, której sześcian daje $-64$. To $-4$, bo $(-4)^3 = -64$.

Przykład 3. Oblicz $\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$.

Pierwiastkuję licznik i mianownik: $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.

Przykład 4. Sześcian ma objętość $216$ cm$^3$. Jaka jest jego krawędź?

Objętość to krawędź do sześcianu, więc krawędź to pierwiastek trzeciego stopnia z objętości: $\sqrt[3]{216} = 6$ cm.

• Twierdzenie, że $\sqrt[3]{-27}$ nie istnieje. Istnieje i wynosi $-3$.
• Mylenie $\sqrt[3]{8}$ z $\sqrt{8}$. Pierwsze to 2, drugie to liczba niewymierna.
• Zapominanie, że $\sqrt[3]{a^3} = a$ także dla ujemnych $a$.

Pierwiastek sześcienny odwraca podnoszenie do trzeciej potęgi – a trzecia potęga to objętość. Znając objętość zbiornika, obliczysz jego krawędź. To także narzędzie w chemii i fizyce, gdzie objętość wiąże się z rozmiarem cząstek.