Pierwiastek kwadratowy

$\sqrt{36} = 6$, bo $6^2 = 36$. Zwróć uwagę na słowo nieujemna – mimo że $(-6)^2$ też daje 36, pierwiastek jest tylko jeden i jest dodatni.

$$\sqrt{a} = b \quad \text{wtedy, gdy} \quad b \geq 0 \ \text{ oraz } \ b^2 = a$$

Nie ma takiej liczby, której kwadrat byłby ujemny – kwadrat każdej liczby jest nieujemny. Dlatego $\sqrt{-9}$ nie istnieje. To ważna różnica w porównaniu z pierwiastkiem trzeciego stopnia, o którym za chwilę.

Dla $a \geq 0$ zachodzą trzy równości, które warto znać na pamięć:

• $\sqrt{a^2} = a$
• $(\sqrt{a})^2 = a$
• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$

Wszystkie mówią to samo: pierwiastkowanie i podnoszenie do kwadratu wzajemnie się znoszą.

Pierwiastek wychodzi liczbą wymierną tylko wtedy, gdy liczba pod nim jest kwadratem liczby wymiernej. Warto znać kwadraty liczb od 1 do 20:

$\sqrt{2}$ nie jest liczbą wymierną – nie da się jej zapisać jako ułamka. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe: $1{,}41421356\ldots$ Takie liczby nazywamy niewymiernymi. Niewymierne są pierwiastki ze wszystkich liczb naturalnych, które nie są kwadratami.

Przykład 1. Oblicz $\sqrt{49}$, $\sqrt{144}$, $\sqrt{0{,}25}$.

$\sqrt{49} = 7$, bo $7^2 = 49$. $\sqrt{144} = 12$. $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$, bo $0{,}5^2 = 0{,}25$.

Przykład 2. Oblicz $\sqrt{\frac{9}{16}}$.

Pierwiastkuję licznik i mianownik: $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$.

Przykład 3. Oblicz $(\sqrt{7})^2$ oraz $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$.

Oba wynoszą tyle, co liczba pod pierwiastkiem: $7$ oraz $5$.

Przykład 4. Bok kwadratu o polu $81$ cm$^2$ – jaką ma długość?

Pole to bok do kwadratu, więc bok to pierwiastek z pola: $\sqrt{81} = 9$ cm.

• Podawanie dwóch odpowiedzi. $\sqrt{25} = 5$, a nie $\pm 5$.
• Twierdzenie, że $\sqrt{-4} = -2$. To nieprawda – pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie istnieje.
• Mylenie $\sqrt{a^2}$ z $a^2$.

Pierwiastek kwadratowy to odwrotność podnoszenia do kwadratu – a kwadraty pojawiają się wszędzie tam, gdzie liczymy pola. Bez pierwiastka nie policzysz boku działki o zadanej powierzchni ani przekątnej ekranu. To także fundament twierdzenia Pitagorasa, które poznasz w kolejnym dziale.