Funkcja kwadratowa

Przez /

Funkcja kwadratowa to jeden z najważniejszych tematów w matematyce. Spotkasz się z nią już w 1 klasie szkoły średniej, kontynuować będziesz w 2 klasie, a na końcu spotkasz się z nią na maturze.

Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem:

f(x) = ax^2 + bx + c

gdzie a \neq 0. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Powyższy wzór to postać ogólna funkcji kwadratowej

Oprócz postaci ogólnej funkcji kwadratowej, wyróżniamy też postać kanoniczną oraz iloczynową.

Funkcja kwadratowa – postać kanoniczna

f(x) = a(x – p)^2 + q

gdzie p i q to odpowiednio współrzędne x i y wierzchołka paraboli.

Dlatego często zapisuję ten wzór w bardziej intuicyjnej formie:

f(x) = a(x – x_w)^2 + y_w

Funkcja kwadratowa – postać iloczynowa

f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)

gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji.

Jak widzisz, w każdej postaci pojawia się współczynnik a. Jego:

  • znak informuje, czy ramiona paraboli są skierowane w górę czy w dół,
    a > 0 → ramiona w górę.
    a < 0 → ramiona  w dół.
  • wartość bezwzględna |a| decyduje o szerokości paraboli.
    Duże |a| → parabola węższa
    Małe |a| →  parabola szersza.

W postaci ogólnej występują również współczynniki b i c.

  • b wpływa na położenie wierzchołka paraboli w poziomie, ale na tym etapie nie musisz się nim szczegółowo zajmować.
  • c to wartość funkcji dla x = 0, czyli punkt przecięcia paraboli z osią OY.
  • Gdy znamy miejsca zerowe i współczynnik a – zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej.
  • Gdy znamy współrzędne wierzchołka i współczynnik a – korzystamy z postaci kanonicznej.
  • Postać kanoniczna lub iloczynowa → ogólna – wymnażamy nawiasy i upraszczamy wyrażenie.
  • Postać kanoniczna → iloczynowa – wymnażamy wszystko, doprowadzamy do najprostszej postaci dochodzac do postaci ogólnej, którą zamieniamy ją na iloczynową.
  • Postać iloczynowa → kanoniczna – wymnażamy nawiasy i uzyskujemy postać ogólną, zamiana ogólnej na kanoniczną omówiona niżej
  • Postać ogólna → kanoniczna – obliczamy współrzędne wierzchołka:
    x_w = -\frac{b}{2a}, \quad y_w = -\frac{\Delta}{4a}

    lub, gdy mamy miejsca zerowe:

    x_w = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_w = f(x_w)

    Na końcu podstawiamy do wzoru.

  • Postać ogólna → iloczynowa – obliczamy deltę oraz miejsca zerowe x₁ i x₂. Na końcu podstawiamy do wzoru.

Miejsca zerowe to punkty, w których wykres przecina oś OX. Oblicza się je ze wzoru kwadratowego:

ax^2 + bx + c = 0

Rozwiązania znajdujemy za pomocą wyróżnika (tzw. delty):

\Delta = b^2 – 4ac

Jeśli \Delta > 0, są dwa miejsca zerowe.
Jeśli \Delta = 0, jest jedno miejsce zerowe (parabola dotyka osi OX).
Jeśli \Delta < 0, nie ma miejsc zerowych (parabola nie przecina osi OX).

Wzory na miejsca zerowe:

x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Jeśli mamy podany wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej, to nie musimy liczyć miejsc zerowych. Wartości x, dla których każdy z nawiasów przyjmuje wartość zero, są miejscami zerowymi funkcji.
Jeżeli funkcja nie ma miejsc zerowych, to nie da się zapisać jej w postaci iloczynowej.

Przedziały monotoniczności informują nas o tym, kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje.

Aby je poprawnie wyznaczyć, musimy znać:

  • współrzędną x wierzchołka paraboli,
  • znak współczynnika a.

Przypadek 1 – gdy a > 0

Jeżeli a \gt 0, ramiona paraboli są skierowane w górę.

Wtedy:

  • funkcja maleje w przedziale
    (-\infty,\; x_w)
  • funkcja rośnie w przedziale
    (x_w,\; +\infty)

Przypadek 2 – gdy a < 0

Jeżeli a \lt 0, ramiona paraboli są skierowane w dół.

Wtedy:

  • funkcja rośnie w przedziale
    (-\infty,\; x_w)
  • funkcja maleje w przedziale
    (x_w,\; +\infty)

Uwaga: punkt x_w to współrzędna x wierzchołka paraboli – w tym miejscu funkcja zmienia monotoniczność.

Jeżeli w zadaniu podano, że parabola przechodzi przez konkretny punkt, na przykład (3, 4), to (jeśli masz wzór funkcji) zrób tak:

Do wzoru funkcji podstawiamy współrzędną x (w podanym przypadku: 3) podanego punktu i przyrównujemy wynik do współrzędnej y (w podanym przypadku: przyrównujemy do 4).

Przykład

Dana jest funkcja:

f(x) = 2x^2 + 5x + c

oraz informacja, że parabola przechodzi przez punkt (3, 4).

Podstawiamy x = 3 do wzoru funkcji:

f(3) = 2 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + c

Obliczamy:

f(3) = 18 + 15 + c = 33 + c

Ponieważ punkt (3, 4) leży na wykresie funkcji, to wartość funkcji dla x = 3 musi być równa 4. Przyrównujemy:

33 + c = 4

Stąd:

c = -29

Ważna wskazówka

Jeżeli w zadaniu masz podane współrzędne punktu oraz wzór funkcji i nie wiesz, co zrobić dalej – zawsze podstaw współrzędne tego punktu do wzoru.

To bardzo często prowadzi do wyznaczenia brakującego współczynnika, a czasem pozwala rozwiązać całe zadanie krok po kroku.

  • trójmian kwadratowy – to po prostu wzór bez zapisu funkcji i bez f(x)= – zamiast f(x)=WZÓR zapisujemy y=WZÓR. WZOREM jest wielomian drugiego stopnia
  • wyróżnik trójmianu – to delta \Delta
  • oś symetrii paraboli – współrzędna x wierzchołka

Funkcja kwadratowa – zadania

  1. Oblicz wyróżnik \Delta trójmianu kwadratowego:
    • y=-2(x+3)(x-6)
    • y=12-(x-2)(x-5)
  2. Podaj liczbę rozwiązań równania:
    • x^2-2x-3=0
    • -\sqrt{2}x^2+4x+2\sqrt{2}=0
    • \frac{1}{2}x^2-x+2=0
  3. Uzasadnij, że trójmianu kwadratowego y=(3+\sqrt{2})x^2-4x+5-\sqrt{2} nie można przedstawić w postaci iloczynowej.
  4. Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=\frac{1}{2}x^2+bx+c jest parabola przechodząca przez początek układu współrzędnych, a jej osią symetrii jest prosta x=2. Zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
  5. Przedstaw wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej wiedząc, że jej jedynym miejscem zerowym jest liczba -6, oraz f(-2)=2.
  6. Podaj przedziały monotoniczności funkcji f i g, gdzie f(x)=3(x-4)(x+6), g(x)=-(x-7)(x-3).
  7. Wyznacz przedział, w którym funkcja f(x)=-(x-3)(x+5) jest malejąca.
  8. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że punkty (-1,0), (3,0) oraz (1,2) należą do jej wykresu.
  9. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (-\infty;9), a jej miejscami zerowymi są liczby -3 i 3. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.
  10. Wyznacz równanie osi symetrii paraboli y=(2x-1)(x+4) oraz oblicz współrzędne jej wierzchołka.
  11. Wyznacz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego y=-x^2+bx+c, wiedząc, że liczbami -2 i 4 są jego pierwiastkami.
  12. Wyznacz postać iloczynową funkcji kwadratowej f(x)=-\frac{1}{2}x^2-2x+4.
  13. Przedstaw trójmiany w postaci iloczynowej:
    • y=2x^2-7x+3
    • y=-x^2-2\sqrt{2}x+2
    • y=-2(x+5)^2+18
  14. Przedstaw trójmian w postaci kanonicznej y=2(x-10)(x-4)
  15. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x)=-3x(x-2\sqrt{5})
  16. Wyznacz punkty przecięcia paraboli y=-\frac{1}{2}(x+1)(4-x) z osiami układu współrzędnych.
  17. Oblicz iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego y=-2(x+1)(x-6).
  18. Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego:
    • y=\frac{1}{2}(x-6)(x+4)</li><li>y=-\sqrt{2}(x-\sqrt{2})(x+1-\sqrt{3})
  19. Rozwiąż równania:
    • 8x^2+4x=0
    • \frac{3}{4}x^2=2x-2
    • 36+4x^2=24x
  20. Wyznacz argumenty, dla których funkcja f(x)=-\frac{1}{2}x^2+4x-1 przyjmuje wartość 7.
  21. Ile wynosi odległość na osi liczbowej między pierwiastkami równania 1+x-x^2=0?
  22. Rozwiąż równanie (2-2\sqrt{3}x+x^2)(x^2-4)\left(\frac{1}{9}x^2+2x+9\right)=0.
  23. Zapisz wzór funkcji f(x)=x^2-6x+9 w postaci kanonicznej i iloczynowej. Podaj zbiór wartości, miejsca zerowe oraz wierzchołek paraboli funkcji f.
  24. Rozwiąż nierówności:
    • x^2 – 5x + 6 \le 0
    • x^2 – 12x + 36 \gt 0
    • 4x – x^2 \ge 0
    • -x^2 \ge -16
    • 6x^2 – 54x \le 0
    • (x – 4)(6 – x) \ge 0
    • 3x^2 – 3x \gt (x + 2)(x – 1)
    • 18 \ge 2x^2 + 8

Przećwicz również:

Przewijanie do góry