Pole trójkąta to jeden z tych tematów, który bardzo często pojawia się na maturze. W zależności od danych możemy skorzystać z różnych metod na jego obliczenie. Znajomość wszystkich najważniejszych wzorów to gwarancja, że poradzisz sobie niezależnie od rodzaju zadania.
1. Podstawa razy wysokość
Najbardziej klasyczny i podstawowy wzór to:
P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a
gdzie a to długość wybranego boku, a h_a – wysokość opuszczona na ten bok.
Przykład: jeśli bok trójkąta ma długość 8 cm, a wysokość do tego boku 5 cm, to:
P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20
2. Pole z wykorzystaniem dwóch boków i kąta między nimi
Jeśli znamy dwie długości boków i kąt między nimi, możemy obliczyć pole ze wzoru:
P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma
gdzie a i b to boki, a \gamma to kąt między nimi.
Podobnie:
P = \frac{1}{2}bc\sin\alpha
P = \frac{1}{2}ac\sin\beta
Ten wzór jest niezwykle praktyczny w zadaniach, gdy podane są kąty lub trzeba wykorzystać trygonometrię.
3. Wzór Herona
Kiedy znamy wszystkie trzy boki trójkąta, przydaje się wzór Herona. Najpierw liczymy tzw. półobwód:
p = \frac{a+b+c}{2}
Następnie:
P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Przykład: dla trójkąta o bokach 7, 8 i 9:
p = \frac{7+8+9}{2} = 12
P = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3} = \sqrt{720} \approx 26{,}83
4. Pole w trójkącie równobocznym
Wzór szczególny dla trójkąta równobocznego o boku a:
P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
Wynika on z ogólnego wzoru na pole (podstawa razy wysokość) i twierdzenia Pitagorasa, ale warto go znać na pamięć, bo bardzo przyspiesza liczenie.
5. Pole w oparciu o okrąg wpisany
Jeśli znamy promień okręgu wpisanego r i półobwód p, pole obliczamy tak:
P = r \cdot p
To przydatne, gdy w zadaniu pojawia się geometria z okręgami wpisanymi.
6. Pole w oparciu o okrąg opisany
Korzystając z twierdzenia sinusów, możemy zapisać wzór:
P = \frac{abc}{4R}
gdzie R to promień okręgu opisanego na trójkącie.
Ten wzór pojawia się raczej w trudniejszych zadaniach, ale warto go znać.
Najważniejsze wskazówki
Jeśli masz wysokość – używaj wzoru podstawowego.
Jeśli masz dwa boki i kąt – korzystaj ze wzoru z sinusem.
Jeśli masz trzy boki – wzór Herona.
Jeśli masz promień okręgu wpisanego – P = r \cdot p.
Jeśli masz promień okręgu opisanego – P = \frac{abc}{4R}.
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
1. Oblicz pole trójkąta o bokach 13, 14 i 15.
2. Znajdź pole trójkąta, którego boki mają długości 8 i 10, a kąt między nimi wynosi 60^\circ.
3. Policz pole trójkąta równobocznego o boku 12.
4. Trójkąt ma boki 5, 5 i 6. Oblicz pole, korzystając ze wzoru Herona.
5. W trójkącie opisano okrąg o promieniu R = 5, a boki mają długości 6, 8, 10. Oblicz pole.
Jak widzisz, pole trójkąta można obliczyć na wiele sposobów. Na maturze bardzo ważne jest dobranie odpowiedniego wzoru do danych w zadaniu. Dlatego najlepiej zapamiętać kilka metod i umieć je elastycznie stosować. Dzięki temu żadne zadanie z geometrii płaskiej Cię nie zaskoczy.