Funkcja kwadratowa to jeden z najważniejszych tematów w matematyce. Spotkasz się z nią już w 1 klasie szkoły średniej, kontynuować będziesz w 2 klasie, a na końcu spotkasz się z nią na maturze.
Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem:
gdzie a \neq 0. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.
Powyższy wzór to postać ogólna funkcji kwadratowej
Oprócz postaci ogólnej funkcji kwadratowej, wyróżniamy też postać kanoniczną oraz iloczynową.
Funkcja kwadratowa – postać kanoniczna
gdzie p i q to odpowiednio współrzędne x i y wierzchołka paraboli.
Dlatego często zapisuję ten wzór w bardziej intuicyjnej formie:
Funkcja kwadratowa – postać iloczynowa
gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji.
Jak widzisz, w każdej postaci pojawia się współczynnik a. Jego:
- znak informuje, czy ramiona paraboli są skierowane w górę czy w dół,
a > 0 → ramiona w górę.
a < 0 → ramiona w dół. - wartość bezwzględna |a| decyduje o szerokości paraboli.
Duże |a| → parabola węższa
Małe |a| → parabola szersza.
W postaci ogólnej występują również współczynniki b i c.
- b wpływa na położenie wierzchołka paraboli w poziomie, ale na tym etapie nie musisz się nim szczegółowo zajmować.
- c to wartość funkcji dla x = 0, czyli punkt przecięcia paraboli z osią OY.
- Gdy znamy miejsca zerowe i współczynnik a – zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej.
- Gdy znamy współrzędne wierzchołka i współczynnik a – korzystamy z postaci kanonicznej.
- Postać kanoniczna lub iloczynowa → ogólna – wymnażamy nawiasy i upraszczamy wyrażenie.
- Postać kanoniczna → iloczynowa – wymnażamy wszystko, doprowadzamy do najprostszej postaci dochodzac do postaci ogólnej, którą zamieniamy ją na iloczynową.
- Postać iloczynowa → kanoniczna – wymnażamy nawiasy i uzyskujemy postać ogólną, zamiana ogólnej na kanoniczną omówiona niżej
- Postać ogólna → kanoniczna – obliczamy współrzędne wierzchołka:x_w = -\frac{b}{2a}, \quad y_w = -\frac{\Delta}{4a}
lub, gdy mamy miejsca zerowe:
x_w = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_w = f(x_w)Na końcu podstawiamy do wzoru.
- Postać ogólna → iloczynowa – obliczamy deltę oraz miejsca zerowe x₁ i x₂. Na końcu podstawiamy do wzoru.
Miejsca zerowe to punkty, w których wykres przecina oś OX. Oblicza się je ze wzoru kwadratowego:
ax^2 + bx + c = 0
Rozwiązania znajdujemy za pomocą wyróżnika (tzw. delty):
\Delta = b^2 – 4ac
Jeśli \Delta > 0, są dwa miejsca zerowe.
Jeśli \Delta = 0, jest jedno miejsce zerowe (parabola dotyka osi OX).
Jeśli \Delta < 0, nie ma miejsc zerowych (parabola nie przecina osi OX).
Wzory na miejsca zerowe:
x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
Jeśli mamy podany wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej, to nie musimy liczyć miejsc zerowych. Wartości x, dla których każdy z nawiasów przyjmuje wartość zero, są miejscami zerowymi funkcji.
Jeżeli funkcja nie ma miejsc zerowych, to nie da się zapisać jej w postaci iloczynowej.
Przedziały monotoniczności informują nas o tym, kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje.
Aby je poprawnie wyznaczyć, musimy znać:
- współrzędną x wierzchołka paraboli,
- znak współczynnika a.
Przypadek 1 – gdy a > 0
Jeżeli a \gt 0, ramiona paraboli są skierowane w górę.
Wtedy:
- funkcja maleje w przedziale(-\infty,\; x_w)
- funkcja rośnie w przedziale(x_w,\; +\infty)
Przypadek 2 – gdy a < 0
Jeżeli a \lt 0, ramiona paraboli są skierowane w dół.
Wtedy:
- funkcja rośnie w przedziale(-\infty,\; x_w)
- funkcja maleje w przedziale(x_w,\; +\infty)
Uwaga: punkt x_w to współrzędna x wierzchołka paraboli – w tym miejscu funkcja zmienia monotoniczność.
Jeżeli w zadaniu podano, że parabola przechodzi przez konkretny punkt, na przykład (3, 4), to (jeśli masz wzór funkcji) zrób tak:
Do wzoru funkcji podstawiamy współrzędną x (w podanym przypadku: 3) podanego punktu i przyrównujemy wynik do współrzędnej y (w podanym przypadku: przyrównujemy do 4).
Przykład
Dana jest funkcja:
oraz informacja, że parabola przechodzi przez punkt (3, 4).
Podstawiamy x = 3 do wzoru funkcji:
Obliczamy:
Ponieważ punkt (3, 4) leży na wykresie funkcji, to wartość funkcji dla x = 3 musi być równa 4. Przyrównujemy:
Stąd:
Ważna wskazówka
Jeżeli w zadaniu masz podane współrzędne punktu oraz wzór funkcji i nie wiesz, co zrobić dalej – zawsze podstaw współrzędne tego punktu do wzoru.
To bardzo często prowadzi do wyznaczenia brakującego współczynnika, a czasem pozwala rozwiązać całe zadanie krok po kroku.
- trójmian kwadratowy – to po prostu wzór bez zapisu funkcji i bez f(x)= – zamiast f(x)=WZÓR zapisujemy y=WZÓR. WZOREM jest wielomian drugiego stopnia
- wyróżnik trójmianu – to delta \Delta
- oś symetrii paraboli – współrzędna x wierzchołka
Funkcja kwadratowa – zadania
- Oblicz wyróżnik \Delta trójmianu kwadratowego:
- y=-2(x+3)(x-6)
- y=12-(x-2)(x-5)
- Podaj liczbę rozwiązań równania:
- x^2-2x-3=0
- -\sqrt{2}x^2+4x+2\sqrt{2}=0
- \frac{1}{2}x^2-x+2=0
- Uzasadnij, że trójmianu kwadratowego y=(3+\sqrt{2})x^2-4x+5-\sqrt{2} nie można przedstawić w postaci iloczynowej.
- Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=\frac{1}{2}x^2+bx+c jest parabola przechodząca przez początek układu współrzędnych, a jej osią symetrii jest prosta x=2. Zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
- Przedstaw wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej wiedząc, że jej jedynym miejscem zerowym jest liczba -6, oraz f(-2)=2.
- Podaj przedziały monotoniczności funkcji f i g, gdzie f(x)=3(x-4)(x+6), g(x)=-(x-7)(x-3).
- Wyznacz przedział, w którym funkcja f(x)=-(x-3)(x+5) jest malejąca.
- Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że punkty (-1,0), (3,0) oraz (1,2) należą do jej wykresu.
- Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział (-\infty;9), a jej miejscami zerowymi są liczby -3 i 3. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.
- Wyznacz równanie osi symetrii paraboli y=(2x-1)(x+4) oraz oblicz współrzędne jej wierzchołka.
- Wyznacz współczynniki b i c trójmianu kwadratowego y=-x^2+bx+c, wiedząc, że liczbami -2 i 4 są jego pierwiastkami.
- Wyznacz postać iloczynową funkcji kwadratowej f(x)=-\frac{1}{2}x^2-2x+4.
- Przedstaw trójmiany w postaci iloczynowej:
- y=2x^2-7x+3
- y=-x^2-2\sqrt{2}x+2
- y=-2(x+5)^2+18
- Przedstaw trójmian w postaci kanonicznej y=2(x-10)(x-4)
- Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x)=-3x(x-2\sqrt{5})
- Wyznacz punkty przecięcia paraboli y=-\frac{1}{2}(x+1)(4-x) z osiami układu współrzędnych.
- Oblicz iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego y=-2(x+1)(x-6).
- Podaj pierwiastki trójmianu kwadratowego:
- y=\frac{1}{2}(x-6)(x+4)</li><li>y=-\sqrt{2}(x-\sqrt{2})(x+1-\sqrt{3})
- Rozwiąż równania:
- 8x^2+4x=0
- \frac{3}{4}x^2=2x-2
- 36+4x^2=24x
- Wyznacz argumenty, dla których funkcja f(x)=-\frac{1}{2}x^2+4x-1 przyjmuje wartość 7.
- Ile wynosi odległość na osi liczbowej między pierwiastkami równania 1+x-x^2=0?
- Rozwiąż równanie (2-2\sqrt{3}x+x^2)(x^2-4)\left(\frac{1}{9}x^2+2x+9\right)=0.
- Zapisz wzór funkcji f(x)=x^2-6x+9 w postaci kanonicznej i iloczynowej. Podaj zbiór wartości, miejsca zerowe oraz wierzchołek paraboli funkcji f.
- Rozwiąż nierówności:
- x^2 – 5x + 6 \le 0
- x^2 – 12x + 36 \gt 0
- 4x – x^2 \ge 0
- -x^2 \ge -16
- 6x^2 – 54x \le 0
- (x – 4)(6 – x) \ge 0
- 3x^2 – 3x \gt (x + 2)(x – 1)
- 18 \ge 2x^2 + 8