Wzory skróconego mnożenia to jeden z podstawowych tematów w matematyce. Pojawiają się już w 7 klasie szkoły podstawowej i towarzyszą uczniom aż do matury. Dzięki nim możemy szybko i sprawnie liczyć kwadraty sum i różnic oraz różnicę kwadratów. To nie tylko sztuczka algebraiczna – to narzędzie, które naprawdę ułatwia obliczenia.
Na początku warto zapamiętać trzy podstawowe wzory:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 – kwadrat sumy
(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 – kwadrat różnicy
(a+b)(a-b) = a^2 – b^2 – różnica kwadratów
Te trzy wzory są fundamentem.
1. Wzory skróconego mnożenia – kwadrat sumy
Weźmy przykład: (x+3)^2.
Bez wzoru trzeba by pomnożyć (x+3)(x+3). Robiąc to krok po kroku:
(x+3)(x+3) = x\cdot x + x\cdot 3 + 3\cdot x + 3\cdot 3
= x^2 + 3x + 3x + 9
= x^2 + 6x + 9
A używając wzoru (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 mamy od razu:
(x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9
Wniosek: wzór pozwala szybciej dojść do tego samego wyniku.
2. Wzory skróconego mnożenia – kwadrat różnicy
Przykład: (x-4)^2.
Rozpisując ręcznie: (x-4)(x-4) = x^2 – 4x – 4x + 16 = x^2 – 8x + 16.
Ze wzoru (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2:
(x-4)^2 = x^2 – 2\cdot x\cdot 4 + 16 = x^2 – 8x + 16
Uwaga: najczęstszy błąd to napisanie (x-4)^2 = x^2 – 16. Tak NIE wolno! Zawsze pamiętaj o członie środkowym -2ab.
3. Wzory skróconego mnożenia – różnica kwadratów
Ten wzór jest bardzo przydatny: (a+b)(a-b) = a^2 – b^2.
Przykład: (x+7)(x-7).
Gdyby to wymnożyć: x^2 – 7x + 7x – 49 = x^2 – 49.
Ze wzoru od razu: (x+7)(x-7) = x^2 – 49.
To działa zawsze, niezależnie od tego, czy liczby są małe, czy duże.
Dlaczego warto znać powyższe wzory skróconego mnożenia?
1. Ułatwiają rachunki – np. zamiast liczyć 105^2 na kalkulatorze, możesz zrobić: (100+5)^2 = 100^2 + 2\cdot 100 \cdot 5 + 25 = 11025.
2. Pozwalają szybko rozwiązywać zadania – np. w równaniach kwadratowych, w dowodach algebraicznych, w zadaniach maturalnych.
3. Pomagają unikać błędów – jeśli znasz schemat, łatwiej Ci zauważyć pomyłkę.
Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania
Spróbuj sam rozpisać poniższe przykłady za pomocą poznanych wzorów skróconego mnożenia:
(2x+5)^2
(3x-7)^2
(y+11)(y-11)
(a-0{,}5)^2
(x+1)(x-1)
Sprawdź, czy udało Ci się wyznaczyć każdy składnik: kwadrat pierwszego elementu, podwojony iloczyn i kwadrat drugiego elementu.
Wzory skróconego mnożenia to nie są żadne sztuczki, tylko bardzo praktyczne narzędzie. Warto je znać na pamięć i rozumieć, skąd się biorą. Dzięki nim obliczenia stają się prostsze, a wiele trudniejszych zadań matematycznych da się rozwiązać o wiele szybciej.