Procenty dość często wykorzystujemy w życiu codziennym, więc warto dobrze zrozumieć ten dział.
Z procentami spotykamy się praktycznie codziennie – w sklepach (obniżki cen – dobrze wiedzieć, o ile zł dany produkt jest tańszy), w bankach (np. oprocentowanie kredytów, lokat), podczas analizy składu produktów (wiesz, ile w tabliczce czekolady jest kakao, cukru i innych dodatków) czy choćby w czasie wyborów (wskazanie, ile procent głosów zdobył kandydat lub partia).
Na tej stronie sprawdzisz, czy umiesz wszystko co jest wymagane z procentów w klasie 7.
Spis treści
Zanim zaczniesz!
Nie warto przechodzić do procentów, jeśli nie opanowałeś dobrze sprawnego mnożenia, dzielenia, oraz pracy na ułamkach zwykłych i dziesiętnych.
Jeśli masz z tym problem, przećwicz:
Związek między procentami a ułamkami.
Procent oznacza część setną danej wartości – czy to liczby, czy to działki, tortu, cukierków, pieniędzy. Dlatego zapamiętaj zasadę:
1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01
2\% = \frac{2}{100} = 0{,}02
3\% = \frac{3}{100} = 0{,}03
523\% = \frac{523}{100} = 5{,}23
itd
Żeby przejść z procentu na ułamek, wystarczy go więc podzielić przez 100.
Podczas zamiany procentu na ułamek zwykły, zawsze doprowadzaj do nieskracalnej postaci, np:
8\% = \frac{8}{100} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}
55\% = \frac{55}{100} = \frac{11}{20}
Teraz możesz przećwiczyć zdobytą wiedzę w praktyce, zamieniając w poniższych aplikacjach procenty na liczby dziesiętne i na ułamki zwykłe.
Przedstawianie danych na diagramach procentowych.
Diagramy procentowe stosuje się często, gdy chcemy porównywać dane liczbowe wyrażone w procentach
Jak obliczyć, jaki to procent?
Gdy chcemy przejść z ułamka na procent, lub z liczby dziesiętnej na procent, wystarczy pomnożyć je przez 100%, zatem:
0{,}25 = 0{,}25 \cdot 100\% = 25\%
0{,}6 = 0{,}6 \cdot 100\% = 60\%
1{,}5 = 1{,}5 \cdot 100\% = 150\%
\frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\% = \frac{2}{5} \cdot \frac{100}{1}\% = \frac{200}{5}\% = 40\%
\frac{1}{8} = \frac{1}{8} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot \frac{100}{1}\% = \frac{100}{8}\% = 12{,}5\%
\frac{1}{20} = \frac{1}{20} \cdot 100\% = \frac{1}{20} \cdot \frac{100}{1}\% = \frac{100}{20}\% = 5\%
Jak obliczyć procent danej liczby?
Aby obliczyć, ile wynosi procent z danej liczby, wystarczy zapamiętać jeden prosty sposób:
zamień procent na ułamek dziesiętny lub zwykły, a potem pomnóż przez daną liczbę.
Można to zapisać tak:
\text{procent liczby} = \text{liczba} \cdot \frac{\text{procent}}{100}
Na przykład:
- 20% z 150
150 \cdot \frac{20}{100} = 30
czyli 20% z 150 to 30. - 8% z 250
250 \cdot \frac{8}{100} = 20
czyli 8% z 250 to 20. - 50% z 80
80 \cdot \frac{50}{100} = 40
czyli połowa z 80 to 40.
Widzisz, że zawsze robimy to samo:
1️⃣ zapisujemy procent w postaci ułamka (\frac{p}{100}),
2️⃣ mnożymy go przez daną liczbę.
Zmiany procentowe – podwyżki i obniżki.
Czasem ceny, liczby lub wyniki się zmieniają – coś rośnie (podwyżka), albo maleje (obniżka). W takich sytuacjach bardzo przydają się obliczenia procentowe.
1. Podwyżka – czyli wzrost o pewien procent
Jeśli coś drożeje o pewien procent, dodajemy ten procent do 100%.
Wzór:
\text{nowa wartość} = \text{stara wartość} \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)
Przykład:
Cena telefonu wzrosła o 20%.
Kosztował 1000 zł, więc:
1000 \cdot \left(1 + \frac{20}{100}\right) = 1000 \cdot 1{,}2 = 1200
Nowa cena to 1200 zł – czyli o 200 zł więcej.
2. Obniżka – czyli spadek o pewien procent
Jeśli coś tanieje, odejmujemy ten procent od 100%.
Wzór:
\text{nowa wartość} = \text{stara wartość} \cdot \left(1 – \frac{p}{100}\right)
Przykład:
Kurtka kosztowała 300 zł. W sklepie jest promocja – obniżka o 25%.
300 \cdot \left(1 – \frac{25}{100}\right) = 300 \cdot 0{,}75 = 225
Po obniżce kurtka kosztuje 225 zł.
3. Szybki sposób myślenia:
Jeśli coś rośnie o 10%, to mamy 110% wartości początkowej.
Jeśli coś maleje o 10%, to zostaje 90% wartości początkowej.
Przykład:
Lodówka zdrożała o 10%.
Zamiast 2000 zł kosztuje teraz 2000 \cdot 1{,}1 = 2200.
Telewizor potaniał o 10%.
Zamiast 2000 zł kosztuje 2000 \cdot 0{,}9 = 1800.
4. Uważaj!
Jeśli coś wzrosło o 20%, a potem spadło o 20%, to nie wraca do tej samej wartości.
Przykład:
100 zł → +20% = 120 zł → −20% = 120 \cdot 0{,}8 = 96
Po takich dwóch zmianach wartość spadła do 96 zł.
Obliczanie liczby na podstawie jej procentu.
Czasem wiemy, że jakiś procent z pewnej liczby to konkretna wartość, i musimy znaleźć, jaka była cała liczba.
Wtedy korzystamy ze wzoru odwrotnego do tego, który znasz z poprzedniej lekcji.
\text{liczba} = \frac{\text{wartość procentowa}}{\frac{p}{100}}
czyli dzielimy znaną część przez ułamek odpowiadający procentowi.
Przykład 1:
30% pewnej liczby to 24. Ile wynosi ta liczba?
\text{liczba} = \frac{24}{\frac{30}{100}} = \frac{24 \cdot 100}{30} = 80
Odpowiedź: liczba wynosi 80.
Przykład 2:
15% pewnej liczby to 9.
\text{liczba} = \frac{9}{\frac{15}{100}} = \frac{9 \cdot 100}{15} = 60
Odpowiedź: liczba wynosi 60.
Jak o tym myśleć:
Skoro 30% z liczby to 24, to 1% to \frac{24}{30} = 0{,}8,
a więc 100% to 0{,}8 \cdot 100 = 80.
Szybki sposób zapamiętania:
Jeśli znasz część i procent, to całość znajdziesz, dzieląc przez procent i mnożąc przez 100.
Przykład 3:
25% z pewnej liczby to 12.
\text{liczba} = \frac{12 \cdot 100}{25} = 48
Odpowiedź: liczba to 48.
O ile procent więcej lub mniej, punkty procentowe.
Czasami porównujemy dwie wartości wyrażone w procentach – na przykład, o ile procent więcej osób wybrało jedną opcję niż drugą, albo jak zmieniło się poparcie w sondażu. Wtedy musimy umieć odróżnić różnicę procentową od różnicy w punktach procentowych.
1. O ile procent więcej lub mniej
To pytanie o to, jak bardzo coś się zmieniło w stosunku do wartości początkowej.
Wzór:
\text{zmiana procentowa} = \frac{\text{różnica}}{\text{wartość początkowa}} \cdot 100%
Przykład 1:
Cena wzrosła z 80 zł do 100 zł. O ile procent wzrosła?
\frac{100 – 80}{80} \cdot 100% = \frac{20}{80} \cdot 100% = 25%
Cena wzrosła o 25%.
Przykład 2:
Cena spadła z 120 zł do 90 zł. O ile procent spadła?
\frac{120 – 90}{120} \cdot 100% = \frac{30}{120} \cdot 100% = 25%
Cena spadła o 25%.
2. Punkty procentowe
To coś trochę innego! Punkty procentowe używamy wtedy, gdy porównujemy dwa wyniki wyrażone w procentach — np. poparcie partii, frekwencję, odsetek uczniów.
Przykład:
W zeszłym roku 40% uczniów zdało test, a w tym roku 50%.
Mówimy, że wynik wzrósł o 10 punktów procentowych,
ale tylko o 25% więcej (bo \frac{50 – 40}{40} \cdot 100% = 25%).
W skrócie:
„O ile procent więcej/mniej” – porównujesz względem pierwszej wartości.
„O ile punktów procentowych” – porównujesz same liczby procentowe.
Przykład 2:
Frekwencja wzrosła z 60% do 75%.
wzrost o 75% – 60% = 15 punktów procentowych,
wzrost o \frac{15}{60} \cdot 100% = 25%.
Warto zapamiętać:
Punkty procentowe pokazują różnicę między procentami,
a procenty pokazują względną zmianę w stosunku do wartości początkowej.
Zastosowanie obliczeń procentowych.
Procenty pojawiają się nie tylko w matematyce – spotykasz je prawie codziennie. Pomagają porównywać, obliczać i rozumieć dane w wielu sytuacjach z życia.
1. W sklepach i promocjach
Najczęściej procenty widzisz podczas zakupów.
Na przykład:
obniżka o 20% – to znaczy, że zapłacisz 80% ceny,
drugi produkt -50% – to połowa ceny,
podwyżka o 10% – nowa cena jest większa o 1/10 starej.
Przykład:
Kurtka kosztowała 400 zł. Obniżka 25%.
400 \cdot (1 – \frac{25}{100}) = 400 \cdot 0{,}75 = 300
Nowa cena to 300 zł.
2. W banku i finansach
Procenty pojawiają się przy odsetkach, czyli zyskach lub kosztach pieniędzy.
oprocentowanie lokaty – mówi, ile zarobisz,
oprocentowanie kredytu – mówi, ile oddasz więcej.
Przykład:
Wpłacasz 1000 zł na konto z oprocentowaniem 5% rocznie.
Po roku masz 1000 + 1000 \cdot \frac{5}{100} = 1050 zł.
3. W statystyce i danych
Wykresy i tabele często pokazują dane w procentach, żeby łatwiej było je porównywać.
Np. 60% uczniów lubi matematykę, 25% język polski, 15% WF.
To pomaga szybko zobaczyć, która grupa jest większa, a która mniejsza.
4. W nauce i zdrowiu
Procenty pomagają określać zawartość różnych substancji – np.
2% tłuszczu w mleku,
70% kakao w czekoladzie,
0,9% soli w roztworze fizjologicznym.
Dzięki temu wiemy, ile części całości stanowi dana substancja.
5. W wynikach i ocenach
Często wynik testu podaje się w procentach.
Jeśli zdobyłeś 18 punktów z 20 możliwych:
\frac{18}{20} \cdot 100% = 90%
To oznacza, że masz 90% poprawnych odpowiedzi.
Podsumowanie:
Procenty pomagają w:
ocenianiu zmian (np. wzrost, spadek),
przeliczaniu części całości,
porównywaniu danych,
zrozumieniu, ile czegoś jest w czymś.
Te procenty warto zapamiętać.
1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01
5\% = \frac{1}{20} = 0{,}05
10\% = \frac{1}{10} = 0{,}1
20\% = \frac{1}{5} = 0{,}2
25\% = \frac{1}{4} = 0{,}25 (połowa połowy)
50\% = \frac{1}{2} = 0{,}5 (połowa)
75\% = \frac{3}{4} = 0{,}75
100\% = 1
200\% = 2
Czy znasz promile ‰ ?
Wiesz już jak obliczać procenty %. Z łatwością zrozumiesz teraz czym jest promil ‰
Podczas, gdy procent to była część setna czegoś, promil to część tysięczna. Zasady obowiązują te same, co pw procentach. Obliczanie promili z danej liczby, to dzielenie jej przez 1000, np.
5‰ = \frac{5}{1000} = 0{,}005
60‰ = \frac{60}{1000} = 0{,}06
1500‰ = \frac{1500}{1000} = 1{,}5
Podczas zamiany promili na ułamek zwykły, pamiętaj o dotarciu do nieskracalnej wersji:
5‰ = \frac{5}{1000} = = \frac{1}{200}
60‰ = \frac{60}{1000} = \frac{6}{100}= \frac{3}{50}
1500‰ = \frac{1500}{1000} = 1\frac{1}{2}
Sprawdzian z procentów – klasa 7.
Czas na podsumowanie zdobytej wiedzy. Rozwiąż sprawdzian z procentów i sprawdź, czy wszystko już umiesz. Po skończeniu sprawdzianu od razu zobaczysz swój wynik. Na rozwiązanie sprawdzianu masz 45 minut.
Przejdź do sprawdzianu z procentów.