Matura rozszerzona - czerwiec 2026 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $\left(\frac{\sqrt{3}+1}{4},\ \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}-1}{2},\ 2-\sqrt{3},\ldots\right)$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=3x^4-4x^3-7$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Funkcja $f$ ma dokładnie

Wartość wyrażenia $\sqrt{25^a+49^b}$ dla $a=\frac{1}{\log_6 5}$ oraz $b=\frac{1}{\log_8 7}$ jest równa

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\sin^4 x+\cos^4 x$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa

Oblicz granicę $$\lim_{x\to 2}\frac{x^5-2x^4+x^2-3x+2}{x^3-2x^2+3x-6}.$$ Wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra $2$
• cyfra $4$ występuje w kodzie dokładnie trzy razy
• cyfra $8$ występuje dokładnie dwa razy
• pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Oblicz liczbę wszystkich takich kodów.

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{ax^2+x}{x-1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq1$. Wyznacz wszystkie wartości $a$, dla których pochodna funkcji $f$ w punkcie $x=a$ jest równa $-\frac{1}{2}a$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $$xy+x+y\leq x^2+y^2+1.$$

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Prosta $p$ jest prostopadła do boku $BC$ i przecina ten bok w punkcie $L$. Ta prosta przecina wysokość $CD$ w punkcie $K$ oraz przecina bok $AC$ w punkcie różnym od $A$.

Wykaż, że $|\angle CAK|=|\angle KDL|$.

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$, $\mathcal{P}_3$. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ oraz $\mathcal{P}_3$ do tego supermarketu jest odpowiednio równy $2:3:4$. Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego z piekarni:

• $\mathcal{P}_1$ stanowi $10\%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni
• $\mathcal{P}_2$ stanowi $12\%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni
• $\mathcal{P}_3$ stanowi $15\%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni $\mathcal{P}_1$, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy.

Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o $4$, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o $1$, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz $x$, $y$ oraz $z$.

Pole czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg jest równe $18$. Boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe, a ponadto $|AB|=4$ oraz $|BC|=7$.

Oblicz obwód tego czworokąta.

Rozwiąż równanie $$\sin x+\sin(2x)-\cos x=\frac{1}{2}.$$

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^2+mx+m=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$ oraz $x_2$ spełniające warunek $$x_1^4+x_2^4+4\cdot x_1^3\cdot x_2^3\geq3.$$

Ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ ma objętość równą $36\sqrt{3}$. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną $\gamma$, która:

• jest prostopadła do ściany bocznej $CDS$ ostrosłupa
• przechodzi przez środek $K$ krawędzi $AD$ oraz środek $L$ krawędzi $BC$
• przecina krawędź boczną $CS$ w punkcie $M$ oraz krawędź boczną $DS$ w punkcie $N$
• tworzy z płaszczyzną podstawy $ABCD$ kąt o mierze $30^\circ$.

Przekrój $KLMN$ wyznaczony przez płaszczyznę $\gamma$ jest trapezem równoramiennym. Oblicz pole trapezu $KLMN$.

W układzie współrzędnych $(x,y)$ rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne $ABC$, w których $C=(0,0)$, wierzchołek $B$ leży na dodatniej półosi $Oy$, wierzchołek $A$ leży na dodatniej półosi $Ox$, natomiast bok $AB$ jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt $K=(1,2)$.