Matura podstawowa - maj 2016 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Dla każdej dodatniej liczby $a$ iloraz $\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}}$ jest równy:

Liczba $\log_{\sqrt{2}}\left(2\sqrt{2}\right)$ jest równa:

Liczby $a$ i $c$ są dodatnie. Liczba $b$ stanowi $48\%$ liczby $a$ oraz $32\%$ liczby $c$. Wynika stąd, że:

Równość $\left(2\sqrt{2}-a\right)^2=17-12\sqrt{2}$ jest prawdziwa dla:

Jedną z liczb, które spełniają nierówność $-x^5+x^3-x<-2$, jest:

Proste o równaniach $2x-3y=4$ i $5x-6y=7$ przecinają się w punkcie $P$. Stąd wynika, że:

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$ leżą na okręgu o środku $S$ (zobacz rysunek). Miara kąta $BDC$ jest równa:

Dana jest funkcja liniowa $f(x)=\frac{3}{4}x+6$. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

Równanie wymierne $\frac{3x-1}{x+5}=3$, gdzie $x\neq -5$:

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział:

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[-1,2]$ jest równa:

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f(x)=\frac{2x^3}{x^6+1}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Wtedy $f(-\sqrt[3]{3})$ jest równa:

W okręgu o środku w punkcie $S$ poprowadzono cięciwę $AB$, która utworzyła z promieniem $AS$ kąt o mierze $31^\circ$ (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość $10$. Odległość punktu $S$ od cięciwy $AB$ jest liczbą z przedziału:

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy $8$, a różnica tego ciągu jest równa $-\frac{3}{2}$. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:

Ciąg $(x,\ 2x+3,\ 4x+3)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

Przedstawione na rysunku trójkąty $ABC$ i $PQR$ są podobne. Bok $AB$ trójkąta $ABC$ ma długość:

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg}\alpha=\frac{2}{3}$. Wtedy:

Z odcinków o długościach $5$, $2a+1$, $a-1$ można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że:

Okręgi o promieniach $3$ i $4$ są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu $3$ (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$, jest równe:

Proste opisane równaniami $y=\frac{2}{m-1}x+m-2$ oraz $y=mx+\frac{1}{m+1}$ są prostopadłe, gdy:

W układzie współrzędnych dane są punkty $A=(a,6)$ oraz $B=(7,b)$. Środkiem odcinka $AB$ jest punkt $M=(3,4)$. Wynika stąd, że:

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech $p$ oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy:

Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$, a tworząca tego stożka ma długość $4$. Objętość tego stożka jest równa:

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt $\alpha$ o mierze:

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: $31$, $16$, $25$, $29$, $27$, $x$, jest równa $\frac{x}{2}$. Mediana tych liczb jest równa:

Rozwiąż nierówność $2x^2+5x-3>0$.

Rozwiąż równanie $x^3+3x^2+2x+6=0$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\frac{3}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $\angle DEC=\angle BGF=90^\circ$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2n^2+2n$ dla $n\geq1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

W skończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$ pierwszy wyraz $a_1$ jest równy $7$ oraz ostatni wyraz $a_n$ jest równy $89$. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $2016$. Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o $50^\circ$. Oblicz kąty tego trójkąta.

Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy $960$ złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy wyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu przypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o $16$ złotych. Oblicz, ile osób wyjechało na biwak.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa $30$. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.