Matura podstawowa - czerwiec 2014 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $x$?

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek $12:8:3:2$. Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ wyrażenie $ab+a-b-1$ jest równe:

Na prostej o równaniu $y=ax+b$ leżą punkty $K=(1,0)$ i $L=(0,1)$. Wynika stąd, że:

Dane są liczby: $a=\log_3\frac{1}{9}$, $b=\log_3 3$, $c=\log_3\frac{1}{27}$. Który z poniższych warunków jest prawdziwy?

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=3x-4$ dla każdej liczby z przedziału $[-2;\ 2]$. Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział:

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f(x)=3x^2+7x+c$ jest liczba $-\frac{7}{3}$. Wówczas $c$ jest równe:

Liczba $\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}}$ jest równa:

Dane są wielomiany: $W(x)=2x^2-1$, $P(x)=x^3+x$ i $Q(x)=(1-x)(x+1)$. Stopień wielomianu $W(x)\cdot P(x)\cdot Q(x)$ jest równy:

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu $y=(x+2)(x-4)$ jest równa:

W ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n\geq 1$, wyraz $a_1=5$, natomiast iloraz $q=-2$. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\geq 1$, dane są dwa wyrazy: $a_2=11$ i $a_4=7$. Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

Miara kąta $\alpha$ spełnia warunek: $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Wyrażenie $\frac{\cos^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}+\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$ jest równe:

W trapezie $KLMN$, w którym $KL\parallel MN$, kąt $LKN$ jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: $|MN|=3$, $|KN|=4\sqrt{3}$, $|\angle KLM|=60^\circ$. Pole tego trapezu jest równe:

Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów I grupy, liczącej $40$ studentów, jest równa $30$. Dwudziestu studentów tworzących II grupę otrzymało w sumie $1800$ punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy:

W sześcianie $EFGHIJKL$ poprowadzono z wierzchołka $F$ dwie przekątne sąsiednich ścian, $FI$ oraz $FK$ (zobacz rysunek). Miara kąta $IFK$ jest równa:

Punkt $O$ jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta $LKM$ jest równa:

Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości $12$ i $9$, opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy:

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych $\{1,2,3,4,\ldots,30\}$ losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe:

W trójkącie $EFG$ bok $EF$ ma długość $21$. Prosta równoległa do boku $EF$ przecina boki $EG$ i $FG$ trójkąta odpowiednio w punktach $H$ oraz $I$ (zobacz rysunek) w taki sposób, że $|HI|=7$ i $|GI|=3$. Wtedy długość odcinka $FI$ jest równa:

Na planie miasta, narysowanym w skali $1:20000$, park jest prostokątem o bokach $2\ \text{cm}$ i $5\ \text{cm}$. Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię:

Proste o równaniach $y=mx-5$ oraz $y=(1-2m)x+7$ są równoległe, gdy:

Punkty $M=(2,0)$ i $N=(0,-2)$ są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?

Objętość walca o promieniu podstawy $4$ jest równa $96\pi$. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe:

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $432$, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość $12$. Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

Rozwiąż nierówność $(2x-3)(3-x)\geq 0$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ prawdziwa jest nierówność $$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq\frac{a^2+b^2}{2}.$$

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Oblicz wartość wyrażenia $$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}.$$

Liczby $6$, $2x+4$, $x+26$ w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę $r$ tego ciągu.

Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych:

$$K=\{-4,-1,1,5,6\}\quad\text{i}\quad L=\{-3,-2,2,3,4\}.$$

Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.

Dany jest trójkąt $ABC$. Odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta, punkt $E$ jest środkiem boku $BC$ (tak jak na rysunku) i $|CD|=|DE|$. Udowodnij, że trójkąt $CDE$ jest równoboczny.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ (zobacz rysunek) przekątna $AC$ podstawy ma długość $4\sqrt{2}$. Kąt $ASC$ między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę $60^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości $150\ \text{km}$ pan Nowak pokonał w czasie o $1$ godzinę i $50$ minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o $11\ \text{km/h}$ większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.

Podstawą trójkąta równoramiennego $ABC$ jest bok $AB$, gdzie $A=(2,1)$ i $B=(5,2)$. Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2x-y-3=0$. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$.