Matura podstawowa - grudzień 2005 - arkusz maturalny (Formuła do 2014)

Wielomian $P(x)=x^3-21x+20$ rozłóż na czynniki liniowe, to znaczy zapisz go w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

W roku 2005 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: „Jeśli swój wiek sprzed 10 lat pomnożę przez swój wiek za 11 lat, to otrzymam rok mojego urodzenia”. Ułóż odpowiednie równanie, rozwiąż je i zapisz, w którym roku urodził się ten jubilat.

Funkcja $f(x)$ jest określona wzorem:

$$f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{dla } x\in[-1,1),\\-(x-1)^2 & \text{dla } x\in[1,3].\end{cases}$$

W układzie współrzędnych są dane dwa punkty: $A=(-2,2)$ i $B=(4,4)$.

Nieskończony ciąg liczbowy $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=4n-31$, gdzie $n=1,2,3,\ldots$.

Wyrazy $a_k$, $a_{k+1}$, $a_{k+2}$ danego ciągu $(a_n)$, wzięte w takim porządku, powiększono: wyraz $a_k$ o $1$, wyraz $a_{k+1}$ o $3$ oraz wyraz $a_{k+2}$ o $23$. W ten sposób otrzymano trzy pierwsze wyrazy pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz $k$ oraz czwarty wyraz tego ciągu geometrycznego.

Do szkolnych zawodów szachowych zgłosiło się $16$ uczniów, wśród których było dwóch faworytów. Organizatorzy zawodów zamierzają losowo podzielić szachistów na dwie jednakowo liczne grupy eliminacyjne, Niebieską i Żółtą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że faworyci tych zawodów nie znajdą się w tej samej grupie eliminacyjnej. Końcowy wynik obliczeń zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.

Aby wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $c$, dla których liczba postaci $\frac{c-3}{c-5}$ jest także liczbą całkowitą, można przekształcić ułamek do postaci $1+\frac{2}{c-5}$, a następnie wykorzystać całkowite dzielniki liczby $2$.

Rozumując analogicznie, wyznacz wszystkie liczby całkowite $x$, dla których liczba postaci $\frac{x}{x-3}$ jest liczbą całkowitą.

W kwadrat $ABCD$ wpisano kwadrat $EFGH$, jak pokazano na rysunku. Wiedząc, że $|AB|=1$ oraz tangens kąta $AEH$ równa się $\frac{2}{5}$, oblicz pole kwadratu $EFGH$.

Liczbę naturalną $t_n$ nazywamy $n$-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą $n$ kolejnych, początkowych liczb naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem: $t_1=1$, $t_2=1+2=3$, $t_3=1+2+3=6$, $t_4=1+2+3+4=10$, $t_5=1+2+3+4+5=15$.

Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się $144\sqrt{3}$, a pole jego powierzchni bocznej $96\sqrt{3}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.