Matura podstawowa - sierpień 2015 - arkusz maturalny (Formuła 2015)

Jeśli $a=\frac{3}{2}$ i $b=2$, to wartość wyrażenia $\frac{a\cdot b}{a+b}$ jest równa:

Dany jest prostokąt o wymiarach $40\text{ cm}\cdot 100\text{ cm}$. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o $20\%$, a każdy z krótszych boków skrócimy o $20\%$, to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta:

Liczba $\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}$ jest równa:

Liczba $\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}$ jest równa:

Wartość wyrażenia $\log_5 0{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}5\cdot\log_{25}1$ jest równa:

Wartość wyrażenia $(a+5)^2$ jest większa od wartości wyrażenia $a^2+10a$ o:

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań $$\begin{cases}x+3y=-5,\\3x-2y=-4.\end{cases}$$ Wskaż ten rysunek.

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność $2(x-2)\leq 4(x-1)+1$ jest:

Rozwiązaniem równania $x^2(x+1)=x^2-8$ jest:

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{2x-8}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$. Wówczas wartość funkcji $f(\sqrt{2})$ jest równa:

Parabola o wierzchołku $W=(-3,5)$ i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem:

Wykres funkcji liniowej $y=2x-3$ przecina oś $Oy$ w punkcie o współrzędnych:

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $y=f(x)$ ma współrzędne $(2,2)$. Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji $g(x)=f(x+2)$ ma współrzędne:

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez $7$ tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba:

Ciąg liczbowy określony jest wzorem $a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}$ dla $n\geq 1$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy $\frac{3}{4}$. Wówczas:

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych $2$ i $5$ cosinus większego z kątów ostrych jest równy:

Pole rombu o boku $6$ i kącie rozwartym $150^\circ$ jest równe:

W okręgu o środku $O$ dany jest kąt o mierze $50^\circ$, zaznaczony na rysunku.

Miara kąta oznaczonego na rysunku literą $\alpha$ jest równa:

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty $A=(-4,3)$ oraz $B=(8,7)$, jest równy:

Punkt $S=(2,-5)$ jest środkiem odcinka $AB$, gdzie $A=(-4,3)$ i $B=(8,b)$. Wtedy:

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków $a$, $b$, $c$, gdzie $a<b<c$. Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt $360^\circ$, otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa:

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy $4$ i wysokość jest równa $6$, ma długość:

W grupie jest $15$ kobiet i $18$ mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe:

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od $3000$, utworzonych wyłącznie z cyfr $1$, $2$, $3$, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

Rozwiąż równanie $$\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4},$$ gdzie $x\neq 0$ i $x\neq 2$.

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się $6$ kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od $1$ do $6$, a w drugim $8$ kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od $1$ do $8$. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego pudełka jest cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez $11$.

Rozwiąż nierówność $$20x\geq 4x^2+24.$$

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia równość $$\operatorname{tg}\alpha+\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{7}{2}.$$ Oblicz wartość wyrażenia $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$.

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $$x^3+y^3\geq x^2y+xy^2.$$

W prostokącie $ABCD$ punkt $P$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $R$ jest środkiem boku $CD$. Wykaż, że pole trójkąta $APR$ jest równe sumie pól trójkątów $ADR$ oraz $PCR$.

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach $A=(-2,2)$, $B=(6,-2)$, $C=(10,6)$.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku $3:4$, a pole jest równe $192$. Punkt $E$ jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek $SE$ jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość ostrosłupa.

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $$f(x)=ax^2+bx+c.$$ Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x)>0$ jest przedział $(0,12)$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa $9$. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$ funkcji $f$.