Działania na pierwiastkach sześciennych

Dla dowolnych liczb $a$ i $b$ (przy dzieleniu $b \neq 0$):

$$\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$$

Porównaj z pierwiastkiem kwadratowym: tam trzeba było $a \geq 0$ i $b \geq 0$. Tu nie ma takiego ograniczenia.

Zamiast szukać kwadratu, szukamy sześcianu:

$$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$$

$$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$$

$$\sqrt[3]{-24} = \sqrt[3]{-8 \cdot 3} = -2\sqrt[3]{3}$$

Sześciany, które warto znać: $1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000$.

Liczbę przed pierwiastkiem podnosimy do trzeciej potęgi:

$$2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$$

Jak przy pierwiastkach kwadratowych – łączyć można tylko identyczne pierwiastki:

$$3\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} = 8\sqrt[3]{2}$$

Ale $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}$ zostaje tak, jak jest – to dwie różne liczby niewymierne.

Przykład 1. Oblicz $\sqrt[3]{8 \cdot 27}$ dwoma sposobami.

Wprost: $\sqrt[3]{216} = 6$. Ze wzoru: $\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$.

Przykład 2. Oblicz $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}$.

Łączę pod jeden pierwiastek: $\sqrt[3]{8} = 2$.

Przykład 3. Wyłącz czynnik: $\sqrt[3]{250}$.

$250 = 125 \cdot 2$, więc $\sqrt[3]{250} = 5\sqrt[3]{2}$.

Przykład 4. Oblicz $\sqrt[3]{-1000} + \sqrt[3]{125}$.

$-10 + 5 = -5$.

• Szukanie kwadratu zamiast sześcianu przy wyłączaniu czynnika.
• Podnoszenie do kwadratu przy włączaniu czynnika. Przy pierwiastku sześciennym trzeba do trzeciej potęgi.
• Dodawanie różnych pierwiastków. $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3} \neq \sqrt[3]{5}$.

Wszędzie tam, gdzie z objętości trzeba wyznaczyć wymiar – w geometrii przestrzennej, ale też w chemii przy obliczeniach gęstości i w fizyce przy skalowaniu brył.